Teleskopsumme. Man berechne jeweils den Wert der Summe

Question

Aufgabe:

Man berechne jeweils den Wert der Summe.

5 (bis 5)

Sigma(Summe) (1/k - 1/(k-1))

k=1 (Startwert)

Comments

Vermutlich meinst du

\(\sum\limits_{k=1}^5 \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k-1}\right)\)

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Genau bei dieser Interpretation gibt es ein Problem mit k=1. Vgl. die vorhandenen Antworten.

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Danke Lu. Das ist mir schon klar. Ich wollte nur mal zeigen, wie die Aufgabenstellung schön aufgeschrieben werden kann.

Answer 1

Meinst du sicher so:

Σ (k = 1 bis 5) (1/k - 1/(k-1))

Das Problem für k = 1 ist der Term gar nicht definiert, weil dann der Nenner (k - 1) gleich Null ist und man darf ja bekanntlich nicht durch Null teilen.

Also vielleicht nochmal genau die Aufgabe ansehen oder mal ein Foto machen.

Answer 2

5 (bis 5)

Sigma(Summe) (1/k - 1/(k-1))

k=1 (Startwert)

= (1/1 - 1/0) + (1/2 - 1/1) + (1/3 - 1/2) + (1/4 - 1/3) + (1/5 - 1/4)

Wegen 1/0 kannst du hier aufhören. Diese Summe ist nicht definiert. fertig.

Falls das ein Tippfehler war: Alles streichen, was doppelt vorkommt.

= (1/1 - 1/0) + (1/2 - 1/1) + (1/3 - 1/2) + (1/4 - 1/3) + (1/5 - 1/4)

= -1/0 + 1/5 selbstverständlich immer noch nicht definiert.

Answer 3

5 (bis 5)

Was soll das bedeuten?

1/k - 1/(k-1) = (k-1-k)/(k-1) = -1/(k-1)

Die Reihe divergiert.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2Fk+-1%2F%28k-1%29+from+1+to+infinit

Comments

Wolframalpha sagt zwar das die Reihe divergiert, aber auch das die Summe nicht existiert.

Ich hätte es so interpretiert das 5 die obere Grenze sein soll.

Weiterhin gilt:

1/k - 1/(k - 1) = -1/(k^2 - k)

Dort hattest du den Faktor k im Nenner vergessen.

Answer 4

Ich vermute, dass du dich vertippt hast und im zweiten Nenner k+1 stehen sollte:

\(\sum\limits_{k=1}^5 \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)

\(= \frac{1}{1}-\frac{1}{2} +\frac{1}{2}-\frac{1}{3} +\frac{1}{3}-\frac{1}{4} +\frac{1}{4}-\frac{1}{5} +\frac{1}{5}-\frac{1}{6} \)
\(=1-\frac{1}{6}\)

\(=\frac{5}{6}\)

Bei einer Teleskopsumme heben sich zwei benachbarte Glieder immer auf, sodass nur das erste und letzte übrig bleiben.

Comments

Ja habe mich vertippt, meinte k+1.

Danke