Beweisen sie das Wurzelkriterium

Question

Aufgabe:

Beweisen sie das Wurzelkriterium

Problem/Ansatz:

Mein Beweis lautet wie folgt:

Falls es ein ein 0 <= q < 1 und ein N ∈ ℕ gibt, so dass \( \sqrt[n]{|an|} \) <= q für all n >= N gilt, so gilt auch |an| <= qⁿ. Da die Reihe qⁿ absolut konvergent ist und  |an| <= qⁿ gilt, folgt aus dem Majorantenkriterium, dass die Reihe an auch absolut konvergent ist.

Meine Frage ist, ob dies als Beweis ausreicht, oder ich irgendwas übersehen habe :x

Answer 1

Beweisschritt 1:

Aus \( \limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|}<1 \) folgt die absolute Konvergenz von \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \)

Sei \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) eine Reihe. Ist \( \limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|}<1 \), dann ist \( \limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \leq q \) für ein \( 0 \leq q<1 \). Wähle nun \( \epsilon>0 \) so klein, dass \( q+\epsilon<1 \) ist. Aus der Definition des Limes Superior folgt, dass für fast alle \( k \in \mathbb{N} \) die Ungleichung \( \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \leq q+\epsilon \) erfüllt ist. Daraus folgt \( \left|a_{k}\right| \leq(q+\epsilon)^{k} \) für fast alle \( k \). Weil die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(q+\epsilon)^{k} \) konvergiert (geometrische Reihe mit \( q+\epsilon<1 \) ), konvergiert die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left|a_{k}\right| \) nach dem Majorantenkriterium, womit  die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) absolut konvergiert.

Beweisschritt 2:

Aus \( \limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|}>1 \) oder \( \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \geq 1 \) für unendlich viele \( k \) folgt die Divergenz von \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \).

Sei \( \limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|}>1 \) bzw. \( \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \geq 1 \) für unendlich viele \( k \), dann ist \( \left|a_{k}\right| \geq 1^{k}=1 \) für unendlich viele \( k \). Deshalb kann \( \left(\left|a_{k}\right|\right)_{k \in \mathbb{N}} \) keine Nullfolge sein. Damit kann aber auch \( \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) keine Nullfolge sein, wonach \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) nach dem Trivialkriterium divergiert.

Comments

Noch ei kleiner Hinweis :):

Konvergiert \( \left(\sqrt[k]{\left|a_{k}\right|}\right)_{k \in \mathbb{N}} \), dann ist \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|}=\limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \).

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Danke für die schnelle Antwort :D.

War mein Beweisansatz denn falsch oder ist die Idee mit dem Limes Superior nur ein anderer Ansatz?

Oder übersehe ich einen Zusammenhang zwischen dem Limes Superior und meiner Idee?

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@Maikmaik07: Im Grunde war dein Ansatz schon richtig (als Herleitutng), aber um den Beweis sauber zu führen, formuliert man die Forderung, dass es ein \( q \in[0,1) \) mit \( \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \leq q \) für fast alle \( k \in \mathbb{N} \) gibt, mit dem Limes Superior um:

\( \exists \tilde{q} \in[0,1): \limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \leq \tilde{q} \)

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Danke, habe noch einmal in mein Skript geschaut und es dank deiner Erklärung jetzt verstanden.