Zeigen Sie: Die Formel ist für Polynome p bis zum Grad 3 exakt. Danach Anwendung der Trapenz- und Simpsonregel

Question

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(a) Zu einer gegebenen stetigen Funktion \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) betrachten wir folgende Quadraturformel
\( \int \limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \approx \frac{1}{2} f\left(\frac{3-\sqrt{3}}{6}\right)+\frac{1}{2} f\left(\frac{3+\sqrt{3}}{6}\right) . \)

Zeigen Sie: Die Formel ist für Polynome \( p \) bis zum Grad 3 exakt.
(b) Geben Sie zur näherungsweisen Berechnung von \( \int \limits_{a}^{b} \int \limits_{a}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \) eine Quadraturformel an, die auf Anwendung der Trapezregel
\( \int \limits_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \approx \frac{b-a}{2}(g(a)+g(b)) \)
in \( x \)-Richtung und Anwendung der Simpsonregel
\( \int \limits_{a}^{b} h(y) \mathrm{d} y \approx \frac{b-a}{6}\left(h(a)+4 h\left(\frac{a+b}{2}\right)+h(b)\right) \)
in \( y \)-Richtung beruht.
(c) Welchen Wert erhalten Sie mit dieser Methode für das Integral \( \int \limits_{1}^{3} \int \limits_{1}^{3} x y^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \) ? Wie lautet das exakte Ergebnis?

Hallo, die Grippewelle hat mich nun auch erwischt und ich hänge etwas hinterher. Ich habe mir die Regeln, durch YouTube Videos versucht anzueignen, aber finde einfach keine Herangehensweisen. Kann mir jemand aus der Patsche helfen? Liebe Grüße Noel

Answer 1

Um welchen Aufgabenteil geht es konkret? Was sind Deine konkrete Fragen, was hast Du schon erledigt?

In a) reicht es, die Aussage für die Polynome \(x\mapsto 1, x\mapsto x, x\mapsto x^2, x\mapsto x^3\) zu zeigen. Einfach einsetzen.

Auch in b) muss man nur einsetzen und \(h(y)=\int\limits_a^b f(x,y)\, dx\) verwenden. Für die Integrale bez. x verwendet man die erste Formel. Achte auf jedes einzelne Zeichen.

In c): wieder nur einsetzen und ausrechnen.

Also los, fang an und melde Dich bei Problemen mit konkreten Fragen.