Aufgabe:
Text erkannt:
Sei \( \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C}, x, x_{0} \in \mathbb{C} \). Nach dem Satz von Cauchy-Hadamard gibt es \( R \in \) \( \mathbb{R}_{\geq 0} \cup\{\infty\} \) (Konvergenzradius), so dass gilt: \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k} \) konvergiert absolut, falls \( \left|x-x_{0}\right|<R \), und divergiert, falls \( \left|x-x_{0}\right|>R \).
a) (2 P.) Zeigen Sie: Wenn \( a_{k} \neq 0 \) für fast alle \( k \in \mathbb{N} \) und \( r=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{k}\right|}{\left|a_{k+1}\right|} \in \) \( \mathbb{R}_{\geq 0} \cup\{\infty\} \) existiert, dann gilt \( R=r \).
Wie würde man das zeigen/beweisen?
