Aufgabe zum Konvergenzradius

Question

Aufgabe:

Für welche z Element aus den komplexen Zahlen konvergiert die Reihe Σn^n(z+2)^n (n=1 bis unendlich) ?

Problem/Ansatz:

Ich habe mit Hadamard folgendes berechnet: 1/limsup(n-te Wurzel aus n^n). Und da die n-te Wurzel von n^n n ist, ist der limsup unendlich. 1/unendlich dann gleich null. Also dachte ich, die reihe konvergiert für z<-2. Aber in den Lösungen steht, dass die Reihe nur für z=-2 konvergiert. Wie kommt man drauf?

Answer 1

Mit Cauchy-Hadamard berechnest du den Konvergenzradius der Reihe, hier ist wie du richtig erkannt hast r=0, d.h. für alle z mit

|z+2|<r=0 konvergiert die Reihe sicher

|z+2|>r=0 divergiert die Reihe

Für

|z+2|=r=0 kann die Reihe konvergieren oder divergieren, das musst du jetzt separat prüfen

Answer 2

Hallo

 von einer komplexen Zahl zu schreiben z<-2 ist schon mal nicht sinnvoll, wenn der Konvergenzradius 0 ist konvergiert die Reihe doch nur für z+2=0

wenn du mal erst nur reelle z nimmst denkst du dass etwa

 die Reihe über n^n*(-1)^n oder n^n*-3^n konvergiert?

 ohne den konvergenzradius zu berechnen, sieht man doch, dass für kein x+2≠0 die reihe konvergieren kann, da die Summanden keine 0 folge bilden.

Gruß lul