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Aufgabe:

Ich habe eine Parameterdarstellung einer Geraden im R2 gegeben (Stützvektor (1,0), RV (2,1) und zwei Punkte, die nicht auf g liegen P1 (-2,2) und P2 (2,3). Ich möchte zeigen (und berechnen) dass es es genau ein Q auf g gibt, so dass die Summe der Abstand Q-P1 und Q-P2 minimal wird.


Problem/Ansatz:

Ich könnte es über eine Extremwertaufgabe machen, aber es soll geometrisch bewiesen werden. Ich würde mich über einen Ansatz sehr freuen.

VG,

Matheschwitzer

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2 Antworten

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Beste Antwort

Spiegele einen der Punkte P1 oder P2 an der Gerade mit der Gleichung y=12 \frac{1}{2} (x-1). Sei P der nicht gespiegelte und P' der gespiegelte Punkt. Dann ist die Länge der Strecke PP', auf der Q liegt, die kleinste Summe der Abstände QP1 und QP2.

Avatar von 124 k 🚀

Wir haben in der VL eine schöne Formel zur Berechnung des Bildes der Spiegelung eines Punktes kennengelernt, dazu benötige ich einen Normalenvektor, den Stützpunkt der Geraden und den Punkt. Ich erhalte den Bildpunkt (4,-1) und den minimalen Abstand 6,708. das gesuchte Q ist dann der Schnittpunkt von g mit der Geraden durch P1 und P2'. Ich soll jedoch begründen, warum es genau ein Q gibt. Wie kann ich das zeigen? Wie begründe ich mein Vorgehen zum Finden von Q?

Ich soll jedoch begründen, warum es genau ein Q gibt. Wie kann ich das zeigen?

es kann nur einen Schnittpunkt von zwei Geraden geben. Die Geraden sind hier gg und die durch P1P_1 und P2P_2'. Und dieser Schnittpunkt ist zwangsläufig (warum?) der gleiche wie der von gg und der Geraden durch P1P_1' und P2P_2.


Wie begründe ich mein Vorgehen zum Finden von Q?

schaue nochmal auf das Bild in meiner Antwort. 1.) QP1=QP1|QP_1| = |QP_1'| und 2.) die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Gerade (in der euklidischen Ebene).

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Hallo Matheschwitzer,

wo läge denn der Punkt QQ, wenn sich P1P_1 undP2P_2 auf unterschiedlichen Seiten der Geraden befänden?


Schiebe den Punkt QQ mit der Maus auf der Geraden entlang. Die Abstandssumme wird angezeigt.

Alles klar? Falls nicht, so frage bitte nach.

Gruß Werner

Avatar von 49 k

Hallo Werner, dann wäre er der Schnittpunkt von g und P1P2.

Zeichnerisch habe ich es so wie du, nur soll ich es geometrisch berechnen.

Wie gehe ich vor?

Viele Grüße

Matheschwitzer

... nur soll ich es geometrisch berechnen.

kommt drauf an, was Du dadrunter verstehst.

Geometrisch wäre es mit Zirkel und Lineal zu machen, indem Du z.B. P2P_2 an gg spiegelst und der Schnittpunkt der Geraden durch P1P_1 und P2P_2' mit gg ist der Punkt QQ mit minimalem Abstand.

Berechnen kannst man das mit Hilfe der Spiegelmatrix an g, so kommt man zu P2P_2' und dann den Schnittpunkt der Geraden gg und gP1,P2g_{P_1,P_2'} berechnen.

Analytisch sind HB und NBk=12(PkQ)2minQg\sum\limits_{k=1}^{2} \sqrt{(P_k - Q)^2} \to \min \quad Q \in gwelche Lösung hättest Du gerne?

Spiegelmatrix ist vielleicht etwas 'over engineered'. Es geht auch, die Orthogonale des Richtungsvektors von gg bestimmen:rg=(12)r_g^{\perp} = \begin{pmatrix} -1\\ 2\end{pmatrix}und dann den Schnittpunkt SS der Geraden gg und g : x=P2+λrgS=ggg^{\perp}: \quad x = P_2 + \lambda r_g^{\perp} \\ S = g \cap g^{\perp}An diesem Schnittpunkt kann man P2P_2 dann spiegeln:P2=2SP2P_2' = 2S - P_2

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