Abstand von Punkten zur Gerade minimieren

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Parameterdarstellung einer Geraden im R^2 gegeben (Stützvektor (1,0), RV (2,1) und zwei Punkte, die nicht auf g liegen P1 (-2,2) und P2 (2,3). Ich möchte zeigen (und berechnen) dass es es genau ein Q auf g gibt, so dass die Summe der Abstand Q-P1 und Q-P2 minimal wird.

Problem/Ansatz:

Ich könnte es über eine Extremwertaufgabe machen, aber es soll geometrisch bewiesen werden. Ich würde mich über einen Ansatz sehr freuen.

VG,

Matheschwitzer

Answer 1

Spiegele einen der Punkte P₁ oder P₂ an der Gerade mit der Gleichung y=\( \frac{1}{2} \)(x-1). Sei P der nicht gespiegelte und P' der gespiegelte Punkt. Dann ist die Länge der Strecke PP', auf der Q liegt, die kleinste Summe der Abstände QP₁ und QP₂.

Comments

Wir haben in der VL eine schöne Formel zur Berechnung des Bildes der Spiegelung eines Punktes kennengelernt, dazu benötige ich einen Normalenvektor, den Stützpunkt der Geraden und den Punkt. Ich erhalte den Bildpunkt (4,-1) und den minimalen Abstand 6,708. das gesuchte Q ist dann der Schnittpunkt von g mit der Geraden durch P1 und P2'. Ich soll jedoch begründen, warum es genau ein Q gibt. Wie kann ich das zeigen? Wie begründe ich mein Vorgehen zum Finden von Q?

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Ich soll jedoch begründen, warum es genau ein Q gibt. Wie kann ich das zeigen?

es kann nur einen Schnittpunkt von zwei Geraden geben. Die Geraden sind hier \(g\) und die durch \(P_1\) und \(P_2'\). Und dieser Schnittpunkt ist zwangsläufig (warum?) der gleiche wie der von \(g\) und der Geraden durch \(P_1'\) und \(P_2\).

Wie begründe ich mein Vorgehen zum Finden von Q?

schaue nochmal auf das Bild in meiner Antwort. 1.) \(|QP_1| = |QP_1'|\) und 2.) die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Gerade (in der euklidischen Ebene).

Answer 2

Hallo Matheschwitzer,

wo läge denn der Punkt \(Q\), wenn sich \(P_1\) und\(P_2\) auf unterschiedlichen Seiten der Geraden befänden?

https://www.desmos.com/calculator/soncihvmxn

Schiebe den Punkt \(Q\) mit der Maus auf der Geraden entlang. Die Abstandssumme wird angezeigt.

Alles klar? Falls nicht, so frage bitte nach.

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner, dann wäre er der Schnittpunkt von g und P1P2.

Zeichnerisch habe ich es so wie du, nur soll ich es geometrisch berechnen.

Wie gehe ich vor?

Viele Grüße

Matheschwitzer

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... nur soll ich es geometrisch berechnen.

kommt drauf an, was Du dadrunter verstehst.

Geometrisch wäre es mit Zirkel und Lineal zu machen, indem Du z.B. \(P_2\) an \(g\) spiegelst und der Schnittpunkt der Geraden durch \(P_1\) und \(P_2'\) mit \(g\) ist der Punkt \(Q\) mit minimalem Abstand.

Berechnen kannst man das mit Hilfe der Spiegelmatrix an g, so kommt man zu \(P_2'\) und dann den Schnittpunkt der Geraden \(g\) und \(g_{P_1,P_2'}\) berechnen.

Analytisch sind HB und NB$$\sum\limits_{k=1}^{2} \sqrt{(P_k - Q)^2} \to \min \quad Q \in g$$welche Lösung hättest Du gerne?

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Spiegelmatrix ist vielleicht etwas 'over engineered'. Es geht auch, die Orthogonale des Richtungsvektors von \(g\) bestimmen:$$r_g^{\perp} = \begin{pmatrix} -1\\ 2\end{pmatrix}$$und dann den Schnittpunkt \(S\) der Geraden \(g\) und $$g^{\perp}: \quad x = P_2 + \lambda r_g^{\perp} \\ S = g \cap g^{\perp}$$An diesem Schnittpunkt kann man \(P_2\) dann spiegeln:$$P_2' = 2S - P_2$$