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Hey,

wie würdet ihr die Divergenz von $$ \frac{3^{n}}{n^{3}} $$ zeigen? Ich tue mich mit Konvergenzen und Divergenzen leider noch etwas schwer :/

LG Syntax

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$$\frac{3^n}{n^3}>\frac{\mathrm e^n}{n^3}>\frac{n^4}{24}{\cdot}\frac1{n^3}=\frac n{24}.$$

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Aloha :)

Für \(n\ge4\) liefert der binomische Lehrsatz:$$3^n=(1+2)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\cdot 2^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot 2^k>\binom{n}{4}\cdot2^4$$$$\phantom{3^n}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}\cdot16>\frac n2(n-1)(n-2)(n-3)$$Wir dividieren durch \(n^3\) und erhalten:$$\frac{3^n}{n^3}>\frac n2\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdot\frac{n-3}{n}=\frac n2\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1-\frac{3}{n}\right)$$Damit gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3^n}{n^3}\ge\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac n2\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1-\frac{3}{n}\right)\right)=\infty$$

Avatar von 152 k 🚀

Das ist ein sehr schöner Beweis, danke :)

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3^n wächst schneller als n^3 -> lim = oo für n -> oo , Divergenz

oder Wurzelkriterium liefert 3/1 = 3 >1 , keine Nullfolge -> Divergenz

Avatar von 39 k

Ersteres ist kein Beweis und das zweite passt nicht, weil hier keine Reihe vorliegt.

Wieso darf man das Kriterium nicht verwenden, wenn es zum richtigen Ergebnis führt? Spielt das wirklich hier eine so große Rolle?

Ist Evidenz kein Beweis? Solche Begründungen liest man oft.

Natürlich ist "Evidenz" (was immer das sein mag), kein Beweis. Und das Argument, eine Begründung wäre deshalb stichhaltig, weil die Schlussfolgerung stimmt, ist fernab jeder Logik.

Was ist unlogisch am Wurzelkriterium? Für große n geht der Bruch doch gegen unendlich, oder? Ob Folge oder Reihe scheint mit hier nicht entscheidend zu sein. Worin besteht hier das konkrete Problem., wenn man das Kriterium anwendet?

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Da n^3 größer gleich n gilt:

3^n/n^3 kleiner gleich 3^n/n

3^n ist das gleiche wie e^(n*ln(3))

e^(n*ln(3))/n beide Teile des Bruches gehen für n nach unendlich gegen unendlich, wende dafür l'Hospital an:

e^(n*ln(3)) abgeleitet nach n ergibt ln(3)*e^(n*ln(3))

was n nach n abgeleitet wäre, ist klar.

Setze die nach n abgeleiteten Teile des Bruches in den Bruch wieder und erkenne, dass da kein Bruch mehr steht, sondern nur noch eine Konstante mit der obengenannten e-Funktion als Produkt. Dass dann Divergenz besteht für n nach unendlich, ist klar zu erkennen.

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Die Regel von l'Hospital hatten wir leider noch nicht, aber trotzdem vielen Dank ^^

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