Konvergiert oder Divergiert a_{n}=\frac{1+2+·s+n}{n^{2}}?

Question

Aufgabe:

Konvergiert oder divergiert die Folge \( \left(a_{n}\right) \) mit
\( a_{n}=\frac{1+2+\cdots+n}{n^{2}} ? \)
Beweisen Sie Ihre Antwort und geben Sie im konvergenten Fall den Grenzwert an. Hinweis: Schreiben Sie \( 1+2+\cdots+n \) in geschlossener Form, indem Sie zu diesem Ausdruck den Ausdruck \( n+(n-1)+\cdots+1 \) addieren.

Was ist mit geschlossener Form gemeint und bitte mir am Beweis Anfang helfen. LG

Answer 1

1+2+3+...+ n ergibt als Summe (n^2+1)/2

(n^2+1)*0,5/n^2= (0,5n^2+0,5)/n^2

nach Kürzen mit n^2 ergibt sich 0,5+ 1/n^2 = 0,5

Answer 2

Aloha :)

Schau dir bitte mal folgende Abbildung an:

~plot~ 1*(x>0)*(x<5) ; 2*(x>0)*(x<4) ; 3*(x>0)*(x<3) ; 4*(x>0)*(x<2) ; 5*(x>0)*(x<1) ; 5*(x>0)*(x<5) ; -x+5 ; [[0|7|0|5]] ~plot~

Die \(5+4+3+2+1\) Quadrate überdecken die Hälfte der Fläche \(5^2\) und dann schauen noch \(5\) halbe Quadrate über die Diagonale drüber. Das kannst du verallgemeinern:$$1+2+3+\cdots+n=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}$$

Damit kannst du die Folge umschreiben:$$a_n=\frac{1+2+3+\cdots+n}{n^2}=\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{n^2}{2}+\frac n2\right)=\frac12+\frac{1}{2n}\to\frac12$$