Divergenz Beweis der Folge 2^n / n

Question

Hallo zusammen,

ich soll für die Folge \( x_n = \frac{2^n}{n} \) zeigen, dass diese divergent ist.

Offensichtlich gilt ja, dass die Folge bestimmt divergent ist, jedoch weiß ich noch nicht wirklich wie ich das formal zeigen soll.

Meine Idee war jetzt zu zeigen, dass diese nicht nach oben beschränkt ist über die Bernoulli Ungleichung, aber irgendwie bin ich nicht wirklich weiter gekommen, da \( n \) im Nenner steht.

Hätte jemand einen Ansatz oder eine Idee wie man dies formal zeigt?

Mit freundlichen Grüßen

Marcel

Comments

Ein möglicher Nachweis:$$x_n^2=\frac{4^n}{n^2}>\frac{\mathrm e^n}{n^2}>\frac{\frac16n^3}{n^2}=\frac n6\implies\lvert x_n\rvert>\sqrt{\frac n6}.$$

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Hallo Arsinoé4,

vielen Dank für deine Antwort. Darauf wäre ich gar nicht gekommen. Leider müsste ich dafür \( e^n > \frac{1}{6}n^3 \) beweisen, da wir dies sicher nicht ohne Beweis verwenden dürfen (leider hatten wir \( e \) auch noch nicht offiziel in der Vorlesung). Ich glaube die Vorgehensweise, wie wir vorgehen sollen ist zu zeigen, dass für jede beliebige Kugelumgebung um einen beliebigen Wert mit einem beliebigen Radius unendlich viele Folgenglieder außerhalb liegen.

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Eine andere Möglichkeit mit binomischem Lehrsatz:$$\frac{2^n}n=\frac{(1+1)^n}n=\frac1n\sum_{k=0}^n\binom nk>\frac{1+n+\frac12n(n-1)}n>\frac n2.$$

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Eine dritte Möglichkeit:
Zeige, falls noch nicht geschehen, per Induktion über \(n\), dass \(2^n>n^2\) für alle \(n>4\) gilt.
Damit gilt \(\displaystyle\,\frac{2^n}n>\frac{n^2}n=n\).

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Hallo Arsinoé4,

vielen Dank für deine vielen Ideen. Also die letzten beiden sehen mir sehr vielversprechend aus. Den binomischen Lehrsatz hatten wir schon. Die dritte Idee ist eigentlich mega gut. Das ich darauf nicht gekommen bin, ei ei.

Vielen Dank für deine zahlreichen Antworten.