Schreib dir mal die Faktoren im Bruch nebeneinander/untereinander auf und paare sie:
$$\frac{n!}{2^n}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}{2\cdot 2 \cdot 2\cdot \ldots \cdot 2}.$$
Wenn du jetzt übereinanderstehende Faktoren vergleichst, siehst du: Die linkeste Spalte ist \(\frac{1}{2}\), danach sind alle Spalten mindestens \(1\), da der Zähler mindestens so groß ist wie der Nenner. Die rechteste Spalte ist \(\frac{n}{2}\), also bekommst du die Abschätzung: \(\frac{n!}{2^n}\geq \frac{n}{4},\forall n\in\mathbb{N}\), was für die Divergenz gegen \(\infty\) reicht, obwohl zugegebenermaßen diese Abschätzung für große \(n\) offensichtlich sehr schlecht ist, da wir dann fast alle Faktoren einfach nur gegen \(1\) abschätzen.
Um die Abschätzung präziser zu machen, kannst du mehr der linken Spalten explizit ausrechnen, um dann die restlichen Faktoren gegen eine höhere Zahl als \(1\) abschätzen zu können. Siehe Tschakabumba. Aber ein gutes Pferd springt nur so hoch, wie es muss! ;)
Versuch so etwas ähnliches doch mal mit der zweiten Folge.
Intuitiv zur "Meinungsbildung" über solche Folgen solltest du im Hinterkopf behalten, dass \(n!\) in etwa in der Größenordnung \(\left(\frac{n}{e}\right)^n\) liegt, genauer gesagt: \(\left(\frac{n}{e}\right)^n \leq n! \leq n\cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n\). Damit kannst du "Milchmädchenrechnungen" machen, die schon recht präzise werden. Wenn das nicht mehr reicht, hast du immer noch die Stirlingformel, wovon letztere Formel die "Babyversion" ist: https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel