Divergenz einer schwierigen Folge

Question

Zeige: Lim n! / 2^n = unendlich & Lim n! / n^n = 0

Zum ersten:

Ich weiss nicht, wie ich da vorgehen soll. Es ist mir klar, das die Fakültat ab einem n schneller wächst als die Exponentialfunktion, jedoch kann man das halt schwer zeigen

Zum zweiten:

Da habe ich kein Plan

Comments

Ich würde es mit dem Quotientenkriterium versuchen.

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Welches Quotientenkriterium? Es geht nicht um die Konvergenz/Divergenz einer Reihe, sondern einer Folge

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Lass Dich nicht verwirren, auf diesen Fehler wurde der Kommentar schon öfter hingewiesen, ohne Erfolg (@Colin444 Verdacht bestätigt).

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Das kannst du doch auch mit diesem Kriterium zeigen. Ich sehe da kein Problem.

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Wenn die Reihe \(\sum a_n\) konvergiert (was man mit dem Quotientenkriterium prüfen kann), dann ist notwendigerweise \(\lim a_n = 0\). Andersherum kannst du auch zeigen, dass eine positive Folge gegen unendlich divergiert, wenn \(\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1\), da dann ja die Reihe \(\sum \frac{1}{a_n}\) konvergiert.

Finde ich legitim, wenn auch ein bisschen "didaktisch falschrum", da die Konvergenz von \(a_n\) in 99% der Fälle einfacher zu untersuchen ist als das Verhalten der Reihe.

Answer 1

Hallo.

Zeige für das erste, das der Kehrwert (2^n / n!) eine Nullfolge ist, d.h. lim (2^n / n!) = 0. Denn daraus würde dann die Divergenz davon folgen.

Als Tipp dafür gebe ich Dir mal die Abschätzung

2^n / n! < 4 / n, für alle n ∈ |N (Musst du natürlich noch mit Induktion nach n zeigen)

Der Rest sollte klar sein.

Für das zweite kannst du die Abschätzung

n! < n^(n-1) nutzen.

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Dankeschön :)

Answer 2

Aloha :)

Für \(n\ge3\) gilt:$$\frac{n!}{2^n}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots}{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdots}=\underbrace{\frac12\cdot\frac22\cdot\frac32}_{=\frac34}\cdot\overbrace{\underbrace{\frac42}_{\ge2}\cdot\underbrace{\frac52}_{>2}\cdots}^{\text{\((n-3)\) Brüche}}\ge\frac34\overbrace{\cdot2\cdot2\cdots}^{\text{\((n-3)\) Zweien}}=\frac34\cdot2^{n-3}$$

Das heißt für den Grenzwert:$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{2^n}\ge\frac34\lim\limits_{n\to\infty}2^{n-3}=\frac{3}{32}\lim\limits_{n\to\infty}2^n=\infty$$

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Dankeschön :)

Answer 3

Schreib dir mal die Faktoren im Bruch nebeneinander/untereinander auf und paare sie:

$$\frac{n!}{2^n}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}{2\cdot 2 \cdot 2\cdot \ldots \cdot 2}.$$

Wenn du jetzt übereinanderstehende Faktoren vergleichst, siehst du: Die linkeste Spalte ist \(\frac{1}{2}\), danach sind alle Spalten mindestens \(1\), da der Zähler mindestens so groß ist wie der Nenner. Die rechteste Spalte ist \(\frac{n}{2}\), also bekommst du die Abschätzung: \(\frac{n!}{2^n}\geq \frac{n}{4},\forall n\in\mathbb{N}\), was für die Divergenz gegen \(\infty\) reicht, obwohl zugegebenermaßen diese Abschätzung für große \(n\) offensichtlich sehr schlecht ist, da wir dann fast alle Faktoren einfach nur gegen \(1\) abschätzen.

Um die Abschätzung präziser zu machen, kannst du mehr der linken Spalten explizit ausrechnen, um dann die restlichen Faktoren gegen eine höhere Zahl als \(1\) abschätzen zu können. Siehe Tschakabumba. Aber ein gutes Pferd springt nur so hoch, wie es muss! ;)

Versuch so etwas ähnliches doch mal mit der zweiten Folge.

Intuitiv zur "Meinungsbildung" über solche Folgen solltest du im Hinterkopf behalten, dass \(n!\) in etwa in der Größenordnung \(\left(\frac{n}{e}\right)^n\) liegt, genauer gesagt: \(\left(\frac{n}{e}\right)^n \leq n! \leq n\cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n\). Damit kannst du "Milchmädchenrechnungen" machen, die schon recht präzise werden. Wenn das nicht mehr reicht, hast du immer noch die Stirlingformel, wovon letztere Formel die "Babyversion" ist: https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel

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Dankeschön :)