Divergenz einer schwierigen Folge

Question

Zeige: Lim n! / 2ⁿ = unendlich & Lim n! / nⁿ = 0

Zum ersten:

Ich weiss nicht, wie ich da vorgehen soll. Es ist mir klar, das die Fakültat ab einem n schneller wächst als die Exponentialfunktion, jedoch kann man das halt schwer zeigen

Zum zweiten:

Da habe ich kein Plan

Comments

Ich würde es mit dem Quotientenkriterium versuchen.

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Welches Quotientenkriterium? Es geht nicht um die Konvergenz/Divergenz einer Reihe, sondern einer Folge

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Lass Dich nicht verwirren, auf diesen Fehler wurde der Kommentar schon öfter hingewiesen, ohne Erfolg (@Colin444 Verdacht bestätigt).

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Das kannst du doch auch mit diesem Kriterium zeigen. Ich sehe da kein Problem.

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Wenn die Reihe $\sum a_n$ konvergiert (was man mit dem Quotientenkriterium prüfen kann), dann ist notwendigerweise $\lim a_n = 0$. Andersherum kannst du auch zeigen, dass eine positive Folge gegen unendlich divergiert, wenn $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$, da dann ja die Reihe $\sum \frac{1}{a_n}$ konvergiert.

Finde ich legitim, wenn auch ein bisschen "didaktisch falschrum", da die Konvergenz von $a_n$ in 99% der Fälle einfacher zu untersuchen ist als das Verhalten der Reihe.

Answer 1

Hallo.

Zeige für das erste, das der Kehrwert (2ⁿ / n!) eine Nullfolge ist, d.h. lim (2ⁿ / n!) = 0. Denn daraus würde dann die Divergenz davon folgen.

Als Tipp dafür gebe ich Dir mal die Abschätzung

2ⁿ / n! < 4 / n, für alle n ∈ |N (Musst du natürlich noch mit Induktion nach n zeigen)

Der Rest sollte klar sein.

Für das zweite kannst du die Abschätzung

n! < n^(n-1) nutzen.

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Dankeschön :)

Answer 2

Aloha :)

Für $n\ge3$ gilt:$$\frac{n!}{2^n}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots}{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdots}=\underbrace{\frac12\cdot\frac22\cdot\frac32}_{=\frac34}\cdot\overbrace{\underbrace{\frac42}_{\ge2}\cdot\underbrace{\frac52}_{>2}\cdots}^{\text{\((n-3)\) Brüche}}\ge\frac34\overbrace{\cdot2\cdot2\cdots}^{\text{\((n-3)\) Zweien}}=\frac34\cdot2^{n-3}$$

Das heißt für den Grenzwert:$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{2^n}\ge\frac34\lim\limits_{n\to\infty}2^{n-3}=\frac{3}{32}\lim\limits_{n\to\infty}2^n=\infty$$

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Dankeschön :)

Answer 3

Schreib dir mal die Faktoren im Bruch nebeneinander/untereinander auf und paare sie:

$$\frac{n!}{2^n}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}{2\cdot 2 \cdot 2\cdot \ldots \cdot 2}.$$

Wenn du jetzt übereinanderstehende Faktoren vergleichst, siehst du: Die linkeste Spalte ist $\frac{1}{2}$, danach sind alle Spalten mindestens $1$, da der Zähler mindestens so groß ist wie der Nenner. Die rechteste Spalte ist $\frac{n}{2}$, also bekommst du die Abschätzung: $\frac{n!}{2^n}\geq \frac{n}{4},\forall n\in\mathbb{N}$, was für die Divergenz gegen $\infty$ reicht, obwohl zugegebenermaßen diese Abschätzung für große $n$ offensichtlich sehr schlecht ist, da wir dann fast alle Faktoren einfach nur gegen $1$ abschätzen.

Um die Abschätzung präziser zu machen, kannst du mehr der linken Spalten explizit ausrechnen, um dann die restlichen Faktoren gegen eine höhere Zahl als $1$ abschätzen zu können. Siehe Tschakabumba. Aber ein gutes Pferd springt nur so hoch, wie es muss! ;)

Versuch so etwas ähnliches doch mal mit der zweiten Folge.

Intuitiv zur "Meinungsbildung" über solche Folgen solltest du im Hinterkopf behalten, dass $n!$ in etwa in der Größenordnung $\left(\frac{n}{e}\right)^n$ liegt, genauer gesagt: $\left(\frac{n}{e}\right)^n \leq n! \leq n\cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n$. Damit kannst du "Milchmädchenrechnungen" machen, die schon recht präzise werden. Wenn das nicht mehr reicht, hast du immer noch die Stirlingformel, wovon letztere Formel die "Babyversion" ist: https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel

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Dankeschön :)