Divergenz zeigen bei einer Folge

Question

Kann man so zeigen, das die Folge divergiert?

Text erkannt:

Zu zeigen: Die Folge \( \left(\frac{k^{k}}{k !}\right)_{k \in I N} \) divergiert bestimmt.

Beweis. Man wolle zeigen, das \( \left(\frac{k^{k}}{k !}\right)_{k} \) unbeschränlet ist.
Angenommen \( \left(\frac{k^{k}}{k !}\right)_{k} \) ist beschränht, \( d \cdot h \) Zea Efk \( \exists m>0 \) mit \( m \geqslant \frac{k k}{k !} \)
\( \text { Es gilt: } m \geqslant \frac{k^{k}}{k !} \Leftrightarrow m \cdot k ! \geqslant k^{k} \)
\( \Leftrightarrow m k \cdot(k-1)(k-2) \cdots 1 \geqslant \underbrace{k \cdots k}_{k-m a l} \)

Es ist \( (k-1)(k-2) \cdots 1=(k-1))<\underbrace{k-m a l}_{k-2-m a l} k=k-2 \) \( \forall k \in I N \) mit \( k \geqslant 6 \).
\( \forall k \in \mid N \) mit \( k \geqslant 6 \).
Da \( \forall k \in \mathbb{N}: k \leqslant k^{2} \) gilt, wird es auch \( \forall k \in \mathbb{N} \) mit \( k \geqslant K \)
Damit ist (*) ein Widerspruch.

Comments

Mein Vorschlag: Für alle \(k>1\) gilt $$\frac{k^k}{k!}=\frac k1\cdot\frac k2\cdot\frac k3\cdots\frac kk\ge k\cdot\frac22\cdot\frac33\cdots\frac kk=k.$$

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Danke Dir für den guten Vorschlag!

Answer 1

Für bestimmte Divergenz reicht nicht

"nach oben unbeschränkt".

Sondern für jede positive Schranke sind bei hinreichend großen n alle a_n. grösser als die Schranke. Z.B. ist n*(1 +(-1)^n ) zwar nach oben unbeschränkt aber

nicht bestimmt divergent.

Comments

Ginge hier auch das Quotientenkriterium?

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Das kenne ich eigentlich nur für Reihen.

Der Vorschlag von Arsinoe4 ist doch topp:

Du hast a_k ≥ k. Wenn man also eine positive Schranke S

vorgibt ist zu zeigen: Es gibt ein K∈ℕ mit

k>K ==>   a_k > S . Zu jedem positiven S gibt

es (nach Archimedes) ein K∈ℕ mit K>S.

Damit hast du es.