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ich habe Probleme diese Folge auf Divergenz zu untersuchen:

an = (n1/n+ \( \frac{1}{n} \) ) n

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Du kannst auch so darauf kommen:

$$ a_n=\Bigg(n^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\Bigg)^n=e^{n\cdot \ln\Big(n^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\Big)} $$

Nun betrachtest du den Exponenten:

$$ n\cdot \ln\Big(n^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\Big)=n\cdot \ln\Big(\frac{n\cdot n^{\frac{1}{n}}+1}{n}\Big)\geq n\cdot \ln\Big(\frac{n\cdot n^{\frac{1}{n}}}{n}\Big)\\=n\cdot \ln\big(n^{\frac{1}{n}}\big)=n\cdot \frac{1}{n}\cdot \ln(n)=\ln(n)\stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} \infty$$

Weil also der Exponent divergiert, gilt auch:

$$ \lim_{n \to \infty} \Bigg(n^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\Bigg)^n=\lim_{n \to \infty} e^{n\cdot \ln\Big(n^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\Big)}=\infty $$

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(n^(1/n) + 1/n)^n > (n^(1/n))^n = n

n ist bestimmt divergent und damit ist jede Majorante auch divergent.

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