Beweis Divergenz einer Folge

Question

Hab eine ganz allgemeine Frage: Wenn ich eine Folge auf Konvergenz/Divergenz untersuche gehe ich ja folgende Schritte durch:

1. Grenzwert bestimmen

2. Formaler Beweis

Bei einer konvergenten Folge habe ich es verstanden (ε-Kriterium).

Aber wenn ich jetzt eine divergente Folge habe, wie beispielsweise: (3k+2)*(3k-2)²/(9k³+3k²)

Wie gehe ich da vor? Kann mir jemand sagen, was man dann genau als Beweis aufschreibt?

Answer 1

Ich vermute, dass die Folge mit den Gliedern

a_k:= (3k+2)*(3k-2)^{2}/(9k^{3}+3k^{2})

nicht divergent ist.

Druckfehler oder sprichst du von einer Reihe? 

Hier wird an einem andern Beipiel eine Divergenz gezeigt.

https://www.mathelounge.de/588950/divergenz-einer-folge-zeigen

Answer 2

Deine Beispielfolge hat für k gegen unendlich den Grenzwert 3.

Aber wenn du z.B. sowas hast wie   3k^2 / (k+1)

dann kannst du ja zeigen:  Die Folge ist nach oben unbeschränkt,

hat also keinen (endlichen) Grenzwert.

Für soFälle wie (1)^k kannst du zeigen, dass in einer  0,2-Umgebung von 1 und

in einer 0,2- Umgebung von -1 jeweils unendlich viele Glieder der

Folge liegen. Da die beiden Umgebungen keine gemeinsamen Elemente

haben, gibt es keine Zahl x , so dass in jeder Umgebung von x für hinreichend

großes k alle Elemente der Folge liegen.

Comments

Sprichst du hier vom Minorantenkriterium? Wenn ja, kann man das auch bei Folgen anwenden?

Meine Frage war eher, wie schreibe ich es formell auf, dass die Folge divergiert ?

Also wie in deinem Beispiel:  3k2 / (k+1).

Ich würde so vorgehen: \( \frac{3k^2}{(k+1)} \) = \( \frac{k^2(3)}{k^2(\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2})} \) \( \lim\limits_{k\to\infty} \) \( \frac{3}{0} \)  (Widerspruch, da man durch 0 nicht teilen kann.)

Wie muss man vorgehen, sodass am Ende als Ergebnis ∞ herauskommt...?

Irgendwie komme ich auf keinen anderen Beweis...

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\( \frac{3k^2}{(k+1)} \) = \( \frac{k*(3k)}{k*(1+\frac{1}{k})}=  \frac{3k}{1+\frac{1}{k}} \)

Zähler gegen unendlich Nenner gegen 1, also

Grenzwert unendlich.