Divergenz von n^3 zeigen

Question

a_n=n^3

∀a∈ℝ∃ε>0∀N∈ℕ∃n≥N:|n^3-a| ≥ ε

Man könnte direkt argumentieren, dass n^3 aufgrund des Archimedischen Axioms unendlich groß wird und unbeschränkt ist, also auch bestimmt divergiert. Aber man soll es mit der Definiton beweisen und dabei komme ich nicht vorran...

|n^3-a| ≥ ε

-ε ≥ n^3-a ≥ ε

<->

a-ε ≥ n^3 ≥ ε+a

, dass würde doch schon keinen Sinn ergeben auf der linken Seite, schließlich ist n^3 größer als a-ε ab einem bestimmten n.

Nur dieser Teil, wäre ja für jedes ε erfüllt: n^3 ≥ ε+a, wenn man k:=n^3 und das Arch.Axiom anwendet

Wie würdet ihr den Beweis angehen?

Darf ich eigentlich einfach schreiben: k:= n^3, um das Archimedische Axiom anzuwenden?

Kann ich einfach annehmen, dass a≤k ist und den Betrag "ignorieren"?

Answer 1

Ich würde es indirekt machen, also angenommen es gäbe ein g

so, dass für jedes eps > 0 ...................

Dann müsste es also auch für eps = 1 ein

N∈ℕ     geben  mit   ∀n≥N     :|n³-a| < 1 

also     -1  <    n³-a    <   1     also 

            -1 +a   <   n³     <   1+a  

           also insbesondere     n³     <   1+a  

                                            n < (  | 1+a| ) ^1/3     (Betrag, denn das könnte ja negativ sein,
                                                                             obwohl das anschaulich Unsinn ist.)

                     Und je nach eurer Formulierung des Ax. d. Archimedes hast

                      du hier schon deinen Widerspruch.

Answer 2

Du sagst -ε ≥ n³-a ≥ ε.

Aber ε ist doch größer als Null. Dann kann doch nicht -ε ≥ ε sein.

Stattdessen: |n³-a| ≥ ε ist äquivalent zu

        n³-a ≥ ε ∨ n³-a ≤ -ε.