Divergenz zeigen von \frac{3^{n}}{n^{3}}

Question

Hey,

wie würdet ihr die Divergenz von $$ \frac{3^{n}}{n^{3}} $$ zeigen? Ich tue mich mit Konvergenzen und Divergenzen leider noch etwas schwer :/

LG Syntax

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$$\frac{3^n}{n^3}>\frac{\mathrm e^n}{n^3}>\frac{n^4}{24}{\cdot}\frac1{n^3}=\frac n{24}.$$

Answer 1

Aloha :)

Für \(n\ge4\) liefert der binomische Lehrsatz:$$3^n=(1+2)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\cdot 2^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot 2^k>\binom{n}{4}\cdot2^4$$$$\phantom{3^n}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}\cdot16>\frac n2(n-1)(n-2)(n-3)$$Wir dividieren durch \(n^3\) und erhalten:$$\frac{3^n}{n^3}>\frac n2\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdot\frac{n-3}{n}=\frac n2\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1-\frac{3}{n}\right)$$Damit gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3^n}{n^3}\ge\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac n2\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1-\frac{3}{n}\right)\right)=\infty$$

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Das ist ein sehr schöner Beweis, danke :)

Answer 2

3^n wächst schneller als n^3 -> lim = oo für n -> oo , Divergenz

oder Wurzelkriterium liefert 3/1 = 3 >1 , keine Nullfolge -> Divergenz

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Ersteres ist kein Beweis und das zweite passt nicht, weil hier keine Reihe vorliegt.

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Wieso darf man das Kriterium nicht verwenden, wenn es zum richtigen Ergebnis führt? Spielt das wirklich hier eine so große Rolle?

Ist Evidenz kein Beweis? Solche Begründungen liest man oft.

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Natürlich ist "Evidenz" (was immer das sein mag), kein Beweis. Und das Argument, eine Begründung wäre deshalb stichhaltig, weil die Schlussfolgerung stimmt, ist fernab jeder Logik.

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Was ist unlogisch am Wurzelkriterium? Für große n geht der Bruch doch gegen unendlich, oder? Ob Folge oder Reihe scheint mit hier nicht entscheidend zu sein. Worin besteht hier das konkrete Problem., wenn man das Kriterium anwendet?

Answer 3

Da n^3 größer gleich n gilt:

3^n/n^3 kleiner gleich 3^n/n

3^n ist das gleiche wie e^(n*ln(3))

e^(n*ln(3))/n beide Teile des Bruches gehen für n nach unendlich gegen unendlich, wende dafür l'Hospital an:

e^(n*ln(3)) abgeleitet nach n ergibt ln(3)*e^(n*ln(3))

was n nach n abgeleitet wäre, ist klar.

Setze die nach n abgeleiteten Teile des Bruches in den Bruch wieder und erkenne, dass da kein Bruch mehr steht, sondern nur noch eine Konstante mit der obengenannten e-Funktion als Produkt. Dass dann Divergenz besteht für n nach unendlich, ist klar zu erkennen.

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Die Regel von l'Hospital hatten wir leider noch nicht, aber trotzdem vielen Dank ^^