Wieso divergiert reihe

Question

Text erkannt:

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline\( \sum \limits_{k=4}^{\infty}\left(\frac{8}{7}\right)^{k+3} \) \\
\hline divergent \\
\hline
\end{tabular}

Hallo,

Ich verstehe leider nicht ganz, wieso diese Folge divergiert. Ich hätte eine Indexverschiebung gemacht und den Grenzwert als geometrische Reihe ausgerechnet.

Answer 1

Aloha :)

Eine notwendige Bedinung für die Konvergenz von \(\sum\limits_{k=k_0}^\infty a_k\) ist, dass \((a_k)\) eine Nullfolge ist.

Hier gilt aber mit der Bernoulli-Ungleichung:$$a_k=\left(\frac87\right)^{k+3}=\left(1+\frac17\right)^{k+3}\ge1+\frac{k+3}{7}\to\infty$$Damit ist eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der Summe nicht erfüllt.

Answer 2

8/7 ist >1 , (8/7)^3 kann man vor die Summe ziehen, die Summe ist keine Nullfolge

Es gibt keinen bestimmbaren Summenwert, da q >1

Die Summe geht gegen oo.

Answer 3

Kannst auch alternativ mit dem Qoutientenkriterium zeigen:

a(k+1)/a(k) = (8/7)^(k+4)/(8/7)^(k+3)

= (8/7)^(k+4-(k+3))

= (8/7)^(k-k+4-3)

= 8/7^1 = 8/7 > 1 für k nach unendlich, von daher divergent.