Wieso divergiert diese Reihe nicht?

Question

Hi, ich soll mit dem Wurzelkriterium zeigen, dass diese Reihe konvergiert:

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^{n+(-1)^n}$$

verstehe aber nicht , warum sie das tut, denn wenn ich weiter vereinfache komme ich auf diesen Ausdruck für a_n

$$(\frac{1}{2})^{n}*2^n$$

und wenn ich daraus die n-te Wurzel ziehe kommt ja genau 1 raus, was ja bedeutet, dass das Wurzelkriterium einem hier keine Auskunft gibt....

Wisst ihr vielleicht, was ich falsch gemacht habe?

VG:)

Answer 1

(1/2)^{n+(-1)^n)}=(1/2)^n*2^^{(-1)^n}≠(1/2)^n*2^n

2^^{(-1)^n} hat nichts mit 2^n zu tun , es ist abwechseln 1/2 und 2 1/2 für n ungerade, 2 für n gerade .

Gruß lul