Wie schreibe ich das LSG als Matrix Ax = b?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \begin{aligned} w+4 x+3 y+3 z & =3 \\ w+6 x+4 y+4 z & =4 \\ 2 x+y+z & =1\end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

1. Wie schreibe ich das LSG als Matrix Ax = b ?

2. Wie bestimme ich alle Lösungen hiervon?

3. Wie bekomme ich den Kern von A?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{r}w+4x+3y+3z\\w+6x+4y+4z\\2x+y+z\end{array}\right)=w\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}4\\6\\2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}$$Das führt uns auf die Matrix-Darstellung:$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 4 & 3 & 3\\1 & 6 & 4 & 4\\0 & 2 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}$$

Am einfachsten löst du solche Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren. Dabei ist es unser Ziel, möglichst viele Spalten zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen:

$$\begin{array}{rrrr|r|l}w & x & y & z & = & \text{Gauß-Operation}\\\hline1 & 4 & 3 & 3 & 3\\1 & 6 & 4 & 4 & 4 & -\text{Gleichung 1}\\0 & 2 & 1 & 1 & 1\\\hline1 & 4 & 3 & 3 & 3 & -2\cdot\text{Gleichung 2}\\0 & 2 & 1 & 1 & 1 & \div 2\\0 & 2 & 1 & 1 & 1 & -\text{Gleichung 2}\\\hline\pink1 & 0 & 1 & 1 & 1 &\Rightarrow\pink w+y+z=1\\0 & \pink1 & \frac12 & \frac12 & \frac12 &\Rightarrow\pink x+\frac y2+\frac z2=\frac12\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\end{array}$$Die letzte Gleichung ist immer erfüllt. Die beiden anderen Gleichungen stellst du nach den pinken Variablen um$$\pink w=1-y-z\quad;\quad\pink x=\frac12-\frac y2-\frac z2$$und kannst damit nun alle Lösungen des Gleichungssystems angeben:$$\begin{pmatrix}\pink w\\\pink x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\pink{1-y-z}\\\pink{\frac12-\frac y2-\frac z2}\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\frac12\\0\\0\end{pmatrix}+\frac y2\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\\0\end{pmatrix}+\frac z2\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\2\end{pmatrix}$$Die Lösungen liegen alle in einer 2-dimensionalen Ebene.

Der Kern einer Abbildung enthält alle Argumente, die von der Abbildung auf \(\vec 0\) abgebildet werden. Im Gauß-Verfahren würdest du dazu alle Einträge in der "\(=\)"-Spalte auf Null setzen. Das führt im Ergebnis dazu, dass der Anker-Vektor \((1;\frac12;0;0)^T\) im Ergebnis verschwindet bzw. zum Nullvektor wird.

Comments

Der Kern einer Abbildung besteht aus allen Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Diese Vektoren sind also Lösungen des Gleichungssystems$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 4 & 3 & 3\\1 & 6 & 4 & 4\\0 & 2 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$

Du kannst jetzt dieselbe Rechnung von oben exakt wiederholen, erhältst dann aber in der "\(=\)"-Spalte lauter Nullen:$$\begin{array}{rrrr|r|l}w & x & y & z & = & \text{Gauß-Operation}\\\hline1 & 4 & 3 & 3 & 0\\1 & 6 & 4 & 4 & 0 & -\text{Gleichung 1}\\0 & 2 & 1 & 1 & 0\\\hline1 & 4 & 3 & 3 & 0 & -2\cdot\text{Gleichung 2}\\0 & 2 & 1 & 1 & 0 & \div 2\\0 & 2 & 1 & 1 & 0 & -\text{Gleichung 2}\\\hline\pink1 & 0 & 1 & 1 & 0 &\Rightarrow\pink w+y+z=0\\0 & \pink1 & \frac12 & \frac12 & 0 &\Rightarrow\pink x+\frac y2+\frac z2=0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\end{array}$$

Im Ergebnis fürht das dazu, dass der Ankervektor verschwindet:$$\begin{pmatrix}\pink w\\\pink x\\y\\z\end{pmatrix}=\cancel{\begin{pmatrix}1\\\frac12\\0\\0\end{pmatrix}}+\frac y2\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\\0\end{pmatrix}+\frac z2\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\2\end{pmatrix}$$Das sind alle Vektoren des Kerns.