Aloha :)
1) Genau eine Lösung:
Das LGS hat genau eine Lösung, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix \(\ne0\) ist.$$0\ne\operatorname{det}\begin{pmatrix}2 & a\\0 & 1+\frac a2\end{pmatrix}=2\cdot\left(1+\frac a2\right)=2+a\implies a\ne-2$$Für \(a\ne-2\) hat das LGS genau eine Lösung.
2) Keine Lösung:
Wegen 1) kann dieser Fall nur für \(a=-2\) auftregen. Das LGS lautet dann:$$\begin{array}{rr|c}x & y & =\\\hline 2 & -2 & 4\\0 & 0 & b+2\end{array}$$Die letzte Gleichung, \(0x+0y=b+2\) kann für \(b\ne-2\) nie erfüllt werden.
Für \(a=-2\) und \(b\ne-2\) hat das LGS keine Lösung.
3) Unendlich viele Lösungen:
Wegen 1) muss \(a=-2\) und wegen 2) muss \(b=-2\) gelten. Das LGS lautet dann:$$\begin{array}{rr|c}x & y & =\\\hline 2 & -2 & 4\\0 & 0 & 0\end{array}$$Die zweite Gleichung ist für alle \(x,y\) erfüllt. Wir verlieren daher eine Gleichung und können eine Variable völlig frei wählen, z.B. die Variable \(y\). Durch die verbliebene Gleichung$$2x-2y=4\quad\text{bzw.}\quad x=2+y$$ ist dann der Wert \(x\) eindeutig bestimmt. Wir haben unendlich viele Lösungen der Form:$$\binom{x}{y}=\binom{2+y}{y}=\binom{2}{0}+y\binom{1}{1}$$
Für \(a=-2\) und \(b=-2\) hat das LGS unendlich viele Lösungen.
