Wann hat das LSG eine/keine/unendlich viele Lösungen.

Question

Seien a und b Parameter.

Geben Sie an welche Bedingungen a und b erfüllen müssen, damit das Gleichungssystem

1) Eine Lösung hat

2) Keine Lösung hat

3) Unendlich viele Lösungen hat.

Ich hab das mal in eine Matrix geschrieben. Die erste Spalte ist x und die zweite y. Komme leider nicht weiter.

$\left(\begin{array}{cc|c}2 & a & 4 \\ 0 & 1+\frac{a}{2} & b+2\end{array}\right)$

Comments

Dein LSG ist ein LGS.

Answer 1

Aloha :)

1) Genau eine Lösung:

Das LGS hat genau eine Lösung, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix $\ne0$ ist.$$0\ne\operatorname{det}\begin{pmatrix}2 & a\\0 & 1+\frac a2\end{pmatrix}=2\cdot\left(1+\frac a2\right)=2+a\implies a\ne-2$$Für $a\ne-2$ hat das LGS genau eine Lösung.

2) Keine Lösung:

Wegen 1) kann dieser Fall nur für $a=-2$ auftregen. Das LGS lautet dann:$$\begin{array}{rr|c}x & y & =\\\hline 2 & -2 & 4\\0 & 0 & b+2\end{array}$$Die letzte Gleichung, $0x+0y=b+2$ kann für $b\ne-2$ nie erfüllt werden.

Für $a=-2$ und $b\ne-2$ hat das LGS keine Lösung.

3) Unendlich viele Lösungen:

Wegen 1) muss $a=-2$ und wegen 2) muss $b=-2$ gelten. Das LGS lautet dann:$$\begin{array}{rr|c}x & y & =\\\hline 2 & -2 & 4\\0 & 0 & 0\end{array}$$Die zweite Gleichung ist für alle $x,y$ erfüllt. Wir verlieren daher eine Gleichung und können eine Variable völlig frei wählen, z.B. die Variable $y$. Durch die verbliebene Gleichung$$2x-2y=4\quad\text{bzw.}\quad x=2+y$$ ist dann der Wert $x$ eindeutig bestimmt. Wir haben unendlich viele Lösungen der Form:$$\binom{x}{y}=\binom{2+y}{y}=\binom{2}{0}+y\binom{1}{1}$$

Für $a=-2$ und $b=-2$ hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Comments

Danke für die ausführliche Erklärung! Ich habe es ohne Probleme verstanden. Danke Tschakabumba