Question

Dimension einer Lsg-Menge eines inhomogenen Gleichungssystems Ax=0. 

Satz:$$\begin{array}{l}{\text { Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungs- }} \\ {\text { systems } A x=0 \text { mit einer Matrix } A \in \mathbb{K}^{m \times n} \text { ist ein }} \\ {\text { Untervektorraum des } \mathbb{K}^{n} . \text { Die Dimension dieses Untervek- }} \\ {\text { torraums ist die Anzahl der frei wahlbaren Variablen, also }} \\ {\text { gleich } n-\operatorname{rg} A}\end{array}$$

In meinen Worten:
Ich habe Ein Gleichungssystem. mit \(n\) Unbekannten.
Das heisst, um dieses zu lösen, wende ich zum Beispiel das Gaussverfahren an und erhalte so den Lösungsvektor \(x = (x_{1},...,x_{n}).\)
Jetzt soll nach obigem Satz dieser Lösungsvektor, der auch in der Mengenschreibweise beschrieben werden kann, 
ein Unterraum des \(\mathbb{K}^n\) sein. Frage (1): Wieso ist das ein Unterraum ? 

Die Dimension dieses betreffenden Unterraums ist dann definiert als die Anzahl der freien Variabeln. 
Also als $$n - rg(A)$$. Diese \(n-rg(A)\) machen Sinn, weil \(n\) ist die Dimension des Vektorraums \(V\), also Anzahl Elemente in einer Basis \(B\) von \(V\). Der Rang der Matrix \(A\) ist die Anzahl Pivots und deren Differenz sind dann die Anzahl freien Variablen.

Weitere Probleme:

(2) Ist das homogene Gleichungssystem nicht der Kern, zB. einer linearen Abbiildung von V nach W ? 
(3) Kann mir jemand ein Beispiel machen zu obigem Satz ? 

Answer 1

Ein homogenes Gl.syst. hat ja als "rechte Seite" alles nur 0en.

Die lässt man beim Gauss-Alg. meistens weg.

Wenn dann z.B. die Matrix entsteht

1    -1    2  
0     1    3
0     0    0

kannst du x3 frei wählen und bekommst

              x2 = -3x3   und    x1 = x2  - 2x3  = -5x3

Also wenn etwa x3=t ist  Lösungen  ( -5t ; -3t ; t )

Diese bilden ein 1-dim UNterraum von R^3 mit der

Basis  ( -5 ; -3 ; 1 ).

Comments

Genau, ich habe eine Matrix A (homogenes LGS) \( \in \mathbb{K}^{3x3}. \)
Also die oben, die du gegeben hast.

Nach Gauss erhalte ich  a 

A' = \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{3x3}. \) Und A' hat den Rang:  \(rg(A') = 2. \)

In meiner Fragestellung ganz zu oberst, sagt der Satz:
Die Lösungsmenge bildet einen Untervektorraum des \(\mathbb{K}^n.\) Dabei ist die Betrachtete Matrix aus dem \(\mathbb{K}^{mxn}.\) Also konkret ist in meinem Fall n = 3. 

Also muss die Lösungsmenge nach dem Satz ein Unterraum des \(\mathbb{K}^3\) sein. 

Was ist die Lösungsmenge ? 
Die Lösungsmenge ist: 

L = { t*(-5, -3, 1) ∈ ℝ³ | t ∈ ℝ }

Und was ist die Dimension dieses Unterraums? 
Nach obigem Satz ist die Dimension dieses Unterraums gleich n - rg(A'). n = 3, rg(A') = 2. 

⇒ 3 - 2 = 1

Antowort:
Der Lösungsraum L ist ein Unterraum des ℝ³ 
Nennen wir diesen Unterraum U. 
Dann ist die Dimension von U gleich
\(dim(U) = n - rg(A') = 3 - 2 = 1.  \) 

Frage: 
Richtig ?

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Ja stimmt. Eine Basis von U ist {(-5, -3, 1)}, besteht also

aus einem Element, also wirklich 1-dimensional.