Zeigen Sie, dass f höchstens einen Fixpunkt besitzt.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Satz (Banachscher Fixpunktsatz). Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Abbildung, so dass ein \( 0 \leq q<1 \) existiert mit
\( |f(x)-f(y)| \leq q \cdot|x-y| \quad \text { für alle } \quad x, y \in \mathbb{R} . \)

Dann existiert genau ein \( x \in \mathbb{R} \) mit \( f(x)=x \). (Ein solches \( x \) heißt Fixpunkt von \( f \).)

Aufgabe \( 4(2+2+4+2 \) Punkte). Beweisen Sie den Banachschen Fixpunktsatz anhand der folgenden Teilschritte:
(a) Zeigen Sie, dass \( f \) höchstens einen Fixpunkt besitzt.
(b) Sei \( x_{0} \in \mathbb{R} \) beliebig und \( x_{n}:=f\left(x_{n-1}\right) \) für alle \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie: Für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt
\( \left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leq q^{n} \cdot\left|x_{1}-x_{0}\right| . \)
(c) Folgern Sie aus (b), dass die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \) konvergiert.
Hinweis: Verwenden Sie das Vollständigkeitsaxiom.
(d) Zeigen Sie, dass \( x:=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \) ein Fixpunkt von \( f \) ist.

Ich habe Schwierigkeiten bei der b). Geht das mit vollständiger Induktion oder soll ich die Def irgendwie anwenden und umformen?
Und dann brauche ich auch einen tipp für c)

LG

Answer 1

a)  Angenommen es gäbe mehr als einen Fixpunkt, etwa x und y mit x≠y

und f(x)=x und f(y)=y . Nach Vor. folgt: \( |f(x)-f(y)| \leq q \cdot|x-y| \)

==>   \( |x-y| \leq q \cdot|x-y| \)  Wegen x≠y gilt |x-y| > 0 . Division gibt

==>  \( 1 \leq q  \)  im Widerspruch zu q<1.

Comments

Ja danke dir, die a) hbe ich auch so. das Problem ist b) und folgende aufgaben

LG

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b) wohl so:

Ind.anf. n=0 . Da ist zu prüfen  \( \left|x_{0+1}-x_{0}\right| \leq q^{0} \cdot\left|x_{1}-x_{0}\right| \)

<=>   \( \left|x_{1}-x_{0}\right| \leq 1 \cdot\left|x_{1}-x_{0}\right| \)

Das passt also .

Wenn für ein n gilt \( \left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leq q^{n} \cdot\left|x_{1}-x_{0}\right| \)

Dann wäre daraus zu schließen:

\( \left|x_{n+2}-x_{n+1}\right| \leq q^{n+1} \cdot\left|x_{1}-x_{0}\right| \)

Def. anwenden gibt

<=> \( \left|f(x_{n+1})-f(x_{n})\right| \leq q^{n+1} \cdot\left|x_{1}-x_{0}\right| \)

Vor. anwenden gibt

\( \left|f(x_{n+1})-f(x_{n})\right|\leq q \dot |x_{n+1}-x_{n}| \)  #

und mit der Ind. annahme hat man ja

\( \left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leq q^{n} \cdot\left|x_{1}-x_{0}\right| \)

und weil q nicht negativ ist folgt daraus

\( q \cdot \left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leq q^{n+1} \cdot\left|x_{1}-x_{0}\right| \)

Du kannst also # fortsetzen zu

\( \left|f(x_{n+1})-f(x_{n})\right|\leq q \dot |x_{n+1}-x_{n}| \leq q^{n+1} \cdot\left|x_{1}-x_{0}\right| \)

Und das war ja zu zeigen.

Answer 2

Ja, (b) geht mit vollständiger Induktion. Das merkst Du, wenn Du es einfach mal versuchst. Der Ind.Schritt steht in einer Zeile direkt da. Vielleicht hilft es Dir klar zu machen, dass die Def. der Folge \(x_{i+1}=f(x_i)\) für alle \(i\) lautet, sonst wüsste ich nicht welche Schwierigkeiten auftauchen könnten.

Ok, damit hier ein klarer und sauberer Ind.Schritt steht:

Ind. Vor.: Gelte \(|x_{n+1}-x_n|\le q^n |x_1-x_0|\) für ein \(n\)

Ind. Beh.: \(|x_{n+2}-x_{n+1}|\le q^{n+1} |x_1-x_0|\)

Ind. Schritt: Es gilt \(|x_{n+2}-x_{n+1}| \stackrel{Def.\, Folge}{=} |f(x_{n+1})-f(x_n)| \stackrel{Vor.}{\le} q\,|x_{n+1}-x_n| \stackrel{Ind.Vor.}{\le} q\cdot q^n |x_1-x_0| = q^{n+1} |x_1-x_0|\)

Hausaufgaben erledigen tue ich normalerweise nicht (weil wider der Lernerfolg), aber da vermutlich sonst die andere Antwort abgeschrieben wird, hier dann lieber eine ordentliche.