Bestätigung von Wurzelgleichungen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie das gilt:
1. \( \sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{16} \)
2. \( \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{250} \)
3. \( \sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{250} \)
4. \( \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{32}=3 \sqrt[3]{4} \)

b) Vereinfachen Sie \( \frac{x^{n}-x^{n+2}}{x^{n}+x^{n-1}} \). Hier sei \( x \) eine reelle und \( n \) eine natürliche Zahl.
c) Fassen Sie zusammen \( \frac{x^{-k}-1}{1-x^{k}}-\frac{1}{x^{k}} \). Hier sei \( x \) eine reelle und \( k \) eine natürliche Zahl.

Answer 1

Wende die einschlägigen Gesetze an, etwa so:

\( \sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot 27}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{27}-\sqrt[3]{2}                         \)

\(= \sqrt[3]{2}\cdot 3-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2}\cdot(3-1)=2\sqrt[3]{2}  = =\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{2}        =   \sqrt[3]{16}\)

Answer 2

a) 

4.

$$\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{32} \newline = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{8 \cdot 4} \newline = 1 \cdot \sqrt[3]{4} + 2 \cdot \sqrt[3]{4} \newline = 3 \cdot \sqrt[3]{4}$$

b)

$$\frac{x^n - x^{n + 2}}{x^n + x^{n - 1}} \newline = \frac{x - x^3}{x + 1} \newline = \frac{x \cdot (1 - x^2)}{x + 1} \newline = \frac{x \cdot (1 + x) \cdot (1 - x)}{x + 1} \newline = x \cdot (1 - x) \newline = x - x^2$$

Answer 3

2.

2^(1/3) + (27*2)^(1/3) = 2^(1/3)+ 27^(1/3)*2^(1/3) = 2^(1/3) +3*2^(1/3) = 4*2^(1/3) = [(4^3)*2]^(1/3) = 128^(1/3)

Die Behauptung ist falsch.

3. 16^(1/3) + 54^(1/3) = (2^4)^(1/3) + 3*2^(1/3) = 2*2^(1/3)) +3*2^(1/3) = 5*2^(1/3) = (5^3*2)^(1/3) = 250^(1/3)

Answer 4

2. und 3. kann nicht gleichzeitig gelten.