Berechnen sie die Stammfunktion von f(x)= x * e^2x + e^-2x

Question

Aufgabe:

Berechnen sie die Stammfunktion von f(x)= x * e^2x + e^-2x

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist F(x)= e^2x(0,5x-0,25)

Stimmt dies?

Comments

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Ein alternativer Ansatz ohne partielle Integration: Der Einfachheit halber lasse ich den Summanden \(\mathrm{e}^{-2x}\) weg, da er leicht aufzuleiten ist. Wir haben nun also \(f(x)=x\mathrm{e}^{2x}\) aufzuleiten. Aufgrund des linearen Exponenten ist klar, dass die Stammfunktion die Form

\(F(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{2x}\)

haben muss. Abgeleitet mit der Produkt- und Kettenregel ergibt das

\(f(x)=a\mathrm{e}^{2x}+2(ax+b)\mathrm{e}^{2x}=(2ax+2b+a)\mathrm{e}^{2x}\).

Folglich ist

\(f(x)=x\mathrm{e}^{2x}=(2ax+2b+a)\mathrm{e}^{2x}\).

Ein Koeffizientenvergleich liefert dann \(2a=1\) und \(2b+a=0\) und man erhält \(a=\frac{1}{2}\) sowie \(b=-\frac{1}{4}\). Damit ist \(F(x)=(\frac{1}{2}x-\frac{1}{4})\mathrm{e}^{2x}\) eine Stammfunktion von \(f\).

Comments

Wie müsste ich dann den zweiten Teil also die e^-2x integrieren mittels dem Koeffizientenvergleich?

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Das ist nicht notwendig. Hier nutzt du die Kettenregel: für \(f(x) =\mathrm{e}^{ax} \) gilt \(F(x) =\frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax} \).

Answer 2

Aloha :)

Jein, du hast nur den ersten Term integriert, es fehlt noch das Integral von \(e^{-2x}\).

$$\int\left(xe^{2x}+e^{-2x}\right)dx=\int \underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{e^{2x}}_{=v'}\,dx+\int e^{-2x}\,dx$$$$\qquad= \underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac12e^{2x}}_{=v}-\int \underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac12e^{2x}}_{=v}\,dx+\int e^{-2x}\,dx=\frac x2e^{2x}-\frac12\int e^{2x}\,dx+\int e^{-2x}\,dx$$$$\qquad=\frac x2e^{2x}-\frac12\cdot\frac{e^{2x}}{2}+\frac{e^{-2x}}{(-2)}+\text{const}=\frac{e^{2x}}{4}(2x-1)-\frac{e^{-2x}}{2}+\text{const}$$

Answer 3

e^(-2x) gibt abgeleitet -2*e^(-2x)

-> F(x)= -1/2*e^(-2x) + C

Der 1. Summand ist aufwändiger zu integrieren.