Zeigen Sie, dass F mit F(x)=x^2*e^x eine Stammfunktion von f ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass F mit F(x)=x^2*e^x eine Stammfunktion von F ist

f(x)=(x^2+2x)*e^x

Problem/Ansatz: Ich habe die Produktregel angewandt und das kam raus: F(x)= 1/3x^3+x^2-e^x

Was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

Hallo

du hast irgendwie integriert, statt zu differenzieren sonst kommst du nicht auf x^3 ausserdem muss ja bei jedem Summanden e^x stehen , wenn du die Produktregel anwendest.

lul

Answer 2

\(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\), wenn \(F^\prime(x)=f(x)\) ist. Also musst du nur \(F\) ableiten und das Resultat mit \(f\) vergleichen. Nach der Produktregel der Differentiation gilt mit \(u(x)=x^2\) und \(v(x)=\mathrm e^x\):$$F^\prime(x)=2x\cdot\mathrm e^x+x^2\cdot\mathrm e^x=(x^2+2x)\cdot\mathrm e^x=f(x).$$Damit ist die Aussage gezeigt.

Answer 3

Wenn du die Funktion ableitest, setze dann Produktregel ein:

u=x^2 v=e^x

u'=2x v'=e^x

F'(x)= u*v'+u'*v

= x^2*e^x + 2x*e^x = (x^2+2x)*e^x