Mathematik - Stammfunktion von f(x) = 1/x

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie bitte meine Rechenschritte kontrollieren und gegebenenfalls ergänzen, sofern ich es falsch habe?

''Zeigen Sie, dass F mit F(x) = ln(x) eine Stammfunktion von f mit f(x) = 1/x ist. Gehen Sie wie folgt vor:

1) Begründen Sie, dass e^ln(x)= x gilt.

→ sofern y = e^ln(x) sei, ist y = x; in der Folge gilt vorerst ln(y) = ln(x); somit gilt auch x = e^ln(x)

2) Leiten Sie g mit g(x) = e^ln(x) mithilfe der Kettenregel ab. Da Sie die Ableitung von ln(x) hier nachweisen wollen, schreiben Sie für die Ableitung von ln(x) zunächst (ln(x))'.

→ ln(x)' = 1;

da a(x) = ln(e) = 0 & b(x) = ln (x) = 1

3) Begründen Sie mit den ersten beiden Schritten, dass g'(x) = x * (ln(x)') gilt.

→ g'(x) = x * (ln(x)') = 1 * (ln(x)') = 1 * 1 = 1

4) Begründen Sie, dass F mit F(x) = ln(x) eine Stammfunktion von f mit f(x) = 1/x ist.''

→ dort habe ich keine Ahnung; zumal ich nicht weiß, ob meine zuvor berechneten drei Schritte richtig sind.

Könnten bitte jemand meine Schritte kontrollieren, ergänzen oder auch korrigieren - ich würde die Aufgabe gerne verstehen.

Vielen Dank!

Answer 1

1) ich empfinde sowohl die Ausdrucksweise, als auch die mathematischen aussagen als unverständlich.

Du bist,wie dein Name vermuten lässt, wahrscheinlich noch Schüler, richtig?
Also noch nicht so ganz mit Beweisen vertraut. Wichtig ist auch,dass du hier nur begründen sollst und nicht beweisen.

Wie habt ihr ln(x) definiert?
Wahrscheinlich als y = ln(x) gilt, wenn e^y = x ?
=> ln(x) und e^x heben sich gegenseitig auf.


2) verstehe leider überhaupt nicht, was du aussagen willst.

Kettenregel: Innere mal äußere Ableitung. Mathematisch geschrieben:

u(v(x))' = v'(x) * u'(v(x))
Wobei u(x) = e^x
und v(x) = ln(x)

=> Ableitungen bilden:
u'(x) = e^x

v'(x) = (ln(x))'      <= Weil wir die Ableitung nicht kennen.

Was du also noch machen musst, ist einsetzen.

3)
Definitiv falsch, aber wenn du 2 mit meiner Beschreibung gelöst hast, vielleicht klarer
4) erstmal den Rest bearbeiten und dann nochmal schauen.

Comments

Vielen Dank - dann lag ich wohl eindeutig daneben, weshalb ich Teilaufgabe 4 auch nicht geschafft habe.

Wenn ich nun die Ableitung bilde, nach dem oben beschriebenen Prinzip, bekomme ich folgendes heraus:

ln(x) * e^ln(x) - ist das richtig oder habe ich die Verkettung falsch gemacht?

Sofern dies jetzt richtig ist, weiß ich jedoch noch immer nicht, inwiefern mir das jetzt bei 4) weiterhilft? Wie komme ich denn auf die Stammfunktion? Das haben wir bislang noch nicht gelernt.

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u(v(x))' = v'(x) * u'(v(x))


Du hast in deiner Verkettung nur:
u(v(x))' = v(x) * u'(v(x))

(Ableitung nicht eingesetzt, sondern funktion)

Erstmal musst du die 3 hiernach lösen,bevor du an die 4 kannst

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Das heißt, sofern ich es jetzt richtig sehe, dass die Funktion wie folgt aussieht -

(ln(x)') * e^ln(x)

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Ja, super. Das sieht schonmal gut aus.

Auf den zweiten Teil des Produkts kannst du jetzt das anwenden, was du in 1 gelernt hast.