Die Wahrheitstabelle ist nicht Teil des Beweises.
Der Beweis besteht wirklich nur darin - wie ich in meiner Antwort schon erwähnt habe - eine Belegung anzugeben, die die Formel falsch macht. Dass die Formel durch diese Belegung tatsächlich falsch wird, könnte man noch durch eine Rechnung verdeutlichen. Aber andere Belegungen sind für den Beweis vollkommen irrelevant.
Die Wahrheitstabelle dient dazu, eine geeignete Belegung zu finden.
Natürlich könnte man sich überlegen, wenn die Formel falsch sein soll, dann muß aufgrund der Eigenschaften der Verknüpfung ∨ die Teilformel ¬a falsch sein, also muss a wahr sein. Mit so einer Überlegung hat man schon die Hälfte der Belegungen als ungeeignet eliminiert. Aber letztendlich hat man dadurch auch nichts anderes gemacht, als die Wahrheitstabelle auszufüllen (auch wenn das nur im Kopf passiert ist, und nicht auf dem Papier).
Anstelle einer Wahrheitstabelle kann man ein Kalkül verwenden, zum Beispiel das Resolutionskalkül. Ich vermute aber, das kommt im Lehrplan etwas später.
