Vollständige induktion Aufgabe , bildumgssatz

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Zahlenfolge {an}n∈N mit

a₁ = 3 und a_n+1 = a_n + 2 · n das Bildungsgesetz der Folgeglieder a_n = n² − n + 3 hat.

Kann man mir jemand helfen wie man es mit vollständige Induktion zeigt?

Answer 1

Induktionsanfang:
a1 = 3 = 1²-1+3 = 3

Induktionsvoraussetzung:
Wir wissen also, dass es für ein n gilt, also können wir ausgehen, dass die Aussage für ein beliebiges, aber festes n gilt.

Wir nehmen also:
a_n+1 = a_n + 2 * n


Und wollen am Ende zeigen, dass gilt: a_n+1 = (n+1)^2 - (n+1) + 3 =  n^2 + 2n + 1 - (n+1) +3 = n^2 + n + 3

Also wenden wir die Induktionsvoraussetzung an und setzen anstelle von a_n die bekannte Formel ein:
a_n+1 = (n² − n + 3 )+ 2 * n = n^2  + n + 3

Und damit ist die Aussage gezeigt.

Comments

Eigentlich löse ich ungerne komplette aufgaben ohne Selbstanteil, ist jetzt aber mal eine Ausnahme