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Aufgabe:

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von f', durch Verwendung der H-Methode


Problem/Ansatz:

f(x)= 2(Wurzel(x) + 1)^2

Gesucht: f'(x) ?

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Klammer auflösen:

2(x+2√x+1) = 2x+4√x+2

....

f'(x) = 2 + 2/√x . Kommst du damit weiter ?

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Ableitung der Funktion$$f(x)=2\left(\sqrt x+1\right)^2=2\left((\sqrt x)^2+2\sqrt x+1\right)=2x+4\sqrt x+2$$soll mit der \(h\)-Methode bestimmt werden. Wegen dem \(x\) unter der Wurzel, ist die Ableitung nur für \(x>0\) definiert. Wir bestimmen zuerst den Differenzenquotienten:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{\left(\,2(x+h)+4\sqrt{x+h}+2\,\right)-\left(\,2x+4\sqrt{x}+2\,\right)}{h}$$$$\phantom{\frac{\Delta f}{\Delta x}}=\frac{2h+4\sqrt{x+h}-4\sqrt{x}}{h}=2+\frac{4\sqrt{x+h}-4\sqrt{x}}{h}$$

Wir hönnen hier den Grenzwert für \(h\to0\) noch nicht bilden, weil der Nenner dann zu Null würde. Daher erweitern wir den Bruch geschickt und verwenden anschließend im Zähler die dritte binomische Formel:$$\phantom{\frac{\Delta f}{\Delta x}}=2+4\cdot\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=2+4\cdot\frac{(\overbrace{\sqrt{x+h}}^{=a}-\overbrace{\sqrt{x}}^{=b})\cdot(\overbrace{\sqrt{x+h}}^{=a}+\overbrace{\sqrt{x}}^{=b})}{h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$$$\phantom{\frac{\Delta f}{\Delta x}}=2+4\cdot\frac{\overbrace{(x+h)}^{=a^2}-\overbrace{x}^{=b^2}}{h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=2+4\cdot\frac{\cancel h}{\cancel h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$

Somit konnten wir das lästige \(h\) aus dem Nenner rauskürzen und finden nun:$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(2+4\cdot\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\right)=2+4\cdot\frac{1}{2\sqrt x}$$$$f'(x)=2+\frac{2}{\sqrt x}$$

Avatar von 152 k 🚀

Vielen Dank :)

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Hallo

warum schreibst du nicht wenigstens den Differenzenquotienten (f(x+h)_f(x))/h hin und löst so weit auf wie du kannst, Vielleicht habt ihr das für √x und x auch schon gemacht? dann löse die Klammer auf und benutze das , sonst erweitere (√x+h)-√x)/h mit (√x+h)+√x)  um den GW zu finden

Sag bitte genauer, was du nicht kannst und schreib nicht einfach aufgaben ohne Kommentar.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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