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Die Ableitung der Funktion$$f(x)=2\left(\sqrt x+1\right)^2=2\left((\sqrt x)^2+2\sqrt x+1\right)=2x+4\sqrt x+2$$soll mit der \(h\)-Methode bestimmt werden. Wegen dem \(x\) unter der Wurzel, ist die Ableitung nur für \(x>0\) definiert. Wir bestimmen zuerst den Differenzenquotienten:
$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{\left(\,2(x+h)+4\sqrt{x+h}+2\,\right)-\left(\,2x+4\sqrt{x}+2\,\right)}{h}$$$$\phantom{\frac{\Delta f}{\Delta x}}=\frac{2h+4\sqrt{x+h}-4\sqrt{x}}{h}=2+\frac{4\sqrt{x+h}-4\sqrt{x}}{h}$$
Wir hönnen hier den Grenzwert für \(h\to0\) noch nicht bilden, weil der Nenner dann zu Null würde. Daher erweitern wir den Bruch geschickt und verwenden anschließend im Zähler die dritte binomische Formel:$$\phantom{\frac{\Delta f}{\Delta x}}=2+4\cdot\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=2+4\cdot\frac{(\overbrace{\sqrt{x+h}}^{=a}-\overbrace{\sqrt{x}}^{=b})\cdot(\overbrace{\sqrt{x+h}}^{=a}+\overbrace{\sqrt{x}}^{=b})}{h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$$$\phantom{\frac{\Delta f}{\Delta x}}=2+4\cdot\frac{\overbrace{(x+h)}^{=a^2}-\overbrace{x}^{=b^2}}{h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=2+4\cdot\frac{\cancel h}{\cancel h\cdot(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$
Somit konnten wir das lästige \(h\) aus dem Nenner rauskürzen und finden nun:$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(2+4\cdot\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\right)=2+4\cdot\frac{1}{2\sqrt x}$$$$f'(x)=2+\frac{2}{\sqrt x}$$
