Ableitungsfunktion mit h-Methode finden

Question

Hallo, kann bitte jemand die Aufgabe vor rechnen.

Aufgabe:

Berechnen Sie für die Funktion f die Ableitungsfunktion f‘ ( mit H Methode )

f(x)= -3x^2 +x

Answer 1

Es ist$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-3(x+h)^2+(x+h)-(-3x^2+x)}{h}=$$$$=\frac{-3x^2-6hx-3h^2+x+h+3x^2-x}{h}=$$$$=\frac{h(-6x+1-3h)}{h}=-6x+1-3h\rightarrow -6x+1\text{ für } h\rightarrow 0.$$

Comments

Also dann ist f‘ (x) = -6x+ 1 oder ?

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Ja, so ist es.

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Noch eine Frage, bei der zweiten Zeile wieso wurde aus - / + 3x^2 nur das Vorzeichen in der Klammer ändert sich doch oder?

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Habe es gemerkt weil -3 in der Klammer stand

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Kannst du auch bitte die Funktion fx =0,5x^3 rechnen wäre sehr dankbar

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\( f(x)=0,5 x^{3} \)

\( f^{\prime}(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)

\( \begin{aligned} f(x+h) &=0,5 \cdot(x+h)^{3} \\ &=0,5 \cdot\left(x^{3}+3 x^{2} h+3 x h^{2}+h^{3}\right) \\ &=0,5 x^{3}+1,5 x^{2} h+1,5 x h^{2}+0,5 h^{3} \end{aligned} \)

\( f(x)=0,5 x^{3} \)

\( f(x+h)-f(x)=1,5 x^{2} h+1,5 x h^{2}+0,5 h^{3} \)

\(f^{\prime}(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1,5 x^{2} h+1,5 x h^{2}+0,5 h^{3} }{h}\\ =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h\cdot(1,5 x^{2} +1,5 x h+0,5 h^{2}) }{h}\\ =\lim \limits_{h \rightarrow 0} 1,5 x^{2} +1,5 x h+0,5 h^{2}\\ =1,5x^2\)