Untersuchen Sie auf Stetigkeit

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, für welche $$x \in \mathbb{R}$$ die Funktion $$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ gegeben durch

$$f(x) = \begin{cases}   \frac{x-1}{|x^2-1|} & \text{für } x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, \\   0 & \text{für } x \in \{-1, 1\} \end{cases}$$

stetig ist.

Mein Lösungsansatz wäre:

$$Sei f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ gegeben durch
$$f(x) = \begin{cases}   \frac{x-1}{|x^2-1|} & \text{für } x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, \\   0 & \text{für } x \in \{-1, 1\}. \end{cases}$$

Betrachten wir als erstes die untere Teilfunktion mit dem Funktionswert f(x)=0 für alle x Element R\{-1,1}. Dabei handelt es sich um eine konstante Funktion. Das konstante Funktionen stetig sind, wurde bereits iin der Vorlesung bewiesen. Folglich ist f: R->R mit x Element {-1,1] stetig.

Betrachten wir nun die obere Teilfunktion. Hierbei handelt es sich um eine rationale Funktion bestehend aus 2 Polynomfunktionen. Mit Proposition 15.1.13 gilt, dass Polynomfunktionen und rationale Funktion überall stetig sind, wo sie definiert sind. Folglich ist die Funktion $$f(x) = \frac{x - 1}{|x^2 - 1|}, \quad \text{für alle } x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$$ stetig.

Wäre das überhaupt eine Lösung oder habe ich etwas vergessen, worauf ich speziell nochmal eingehen sollte?

Vielen Dank im Voraus!

VG Rene

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x-1}{|x^2-1|} & \text{für }x\in\mathbb R\setminus\{-1;1\}\\[1ex]0 & \text{für } x\in\{-1;1\}\end{array}\right.$$Wir wollen zunächst das Betragszeichen loswerden:$$x<-1\lor x>1\implies x^2>1\implies x^2-1>0\implies f(x)=\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{1}{x+1}$$$$x\in(-1;1)\implies x^2<1\implies x^2-1<0\implies f(x)=\frac{x-1}{-(x^2-1)}=\frac{-1}{x+1}$$Das liefert uns die Zerlegung:$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{x+1} & \text{für }x<-1\\[1ex]0 & \text{für } x=-1\\[1ex]\frac{-1}{x+1} & \text{für }-1<x<1\\[1ex]0 & \text{für }x=1\\[1ex]\frac{1}{x+1} & \text{für }x>1\end{array}\right.$$

Dass \(\frac{\pm1}{x+1}\) in dem jeweiligen Definitionsbereich stetig sind, ist klar [Proposition 15.1.13 ;)].

Die kritischen Stellen sind die Übergänge bei \(x_0=-1\) und \(x_1=1\).

Damit eine Funktion an einer Stelle \(x_0\) stetig ist, muss sie für alle Richtungen aus denen man sich \(x_0\) nähern kann, denselben Funktionswert ergeben. Im 1-dimensionalen Fall gibt es nur zwei Richtungen, du kannst dich von links \(x<x_0\) oder von rechts \(x>x_0\) nähern.

Die Bedinung für Stetigkeit bei \(x_0=-1\) lautet daher:$$\lim\limits_{x\nearrow-1}f(x)\stackrel!=f(-1)\stackrel!=\lim\limits_{x\searrow-1}f(x)$$Aber wir finden$$\underbrace{\lim\limits_{x\nearrow-1}\frac{1}{x+1}}_{\to-\infty}\ne0\ne\underbrace{\lim\limits_{x\searrow-1}\frac{-1}{x+1}}_{\to-\infty}$$Die Funktion ist also unstetig bei \(x_0=-1\)

Für \(x_1=1\) liegt Stetigkeit vor, wenn die folgende Forderung erfüllt ist:$$\lim\limits_{x\nearrow1}f(x)\stackrel!=f(1)\stackrel!=\lim\limits_{x\searrow1}f(x)$$Wir finden aber auch hier:$$\underbrace{\lim\limits_{x\nearrow1}\frac{-1}{x+1}}_{=-\frac12}\ne0\ne\underbrace{\lim\limits_{x\searrow1}\frac{1}{x+1}}_{=\frac12}$$Die Funktion ist also auch unstetig bei \(x_1=1\).

Comments

Hallo :)

vielen vielen Dank für diese ausführliche Erklärung! Das hat mir sehr geholfen für mein Problem/ Verständnis!

VG Rene

Answer 2

x^2-1 =(x+1)(x-1)

Fallunterscheidung und kürzen

1. x^2-1 >0

2. x^2-1 <0

https://www.mathelounge.de/1049714/untersuchen-sie-auf-stetigkeit