Funktion auf Stetigkeit Untersuchen | Partielle Ableitung

Question

Gegeben ist die Funktion

\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{cll} \frac{x y+y^{2}}{|x|+|y|} & \text { für } & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { für } & (x, y)=(0,0) \end{array} .\right. \)
Untersuchen Sie für welche \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \) die Funktion \( f(x, y) \) stetig ist und welche der beiden partiellen Ableitungen erster Ordnung im Ursprung existieren.

Ich würde da so vorgehen erstmal f(1/k,0) und f(0, 1/k) ausrechen und gucken ob beide gleich sind um zu zeigen, dass sie stetig/unstetig in (0,0) sind, aber das funktioniert nicht so wirklich hier.
Würde mich über Hilfe freuen

Comments

Alternative Möglichkeit: Für alle \((x,y)\ne(0,0)\) gilt$$\lvert f(x,y)\rvert=\left\lvert\frac{xy+y^2}{\lvert x\rvert+\lvert y\rvert}\right\rvert\le\frac{\lvert xy\rvert+y^2}{\lvert x\rvert+\lvert y\rvert}\le\frac{x^2+2\lvert xy\rvert+y^2}{\lvert x\rvert+\lvert y\rvert}=\lvert x\rvert+\lvert y\rvert.$$

Answer 1

Was hast du denn? Es geht doch beides gegen 0.

Comments

und eben deshalb funktioniert es nicht

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eben, hätten sie eine Idee wie ich vorgehen könnte?

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und eben deshalb funktioniert es nicht

Ich rede von der Stetigkeit, und die liegt vor.

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Die folgt aber nicht aus der nachgewiesenen Stetigkeit entlang der Koordinatenachsen, wie das Gegenbeispiel f(x,y)=xy/(x^2+y^2) zeigt.

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Es folgt aber aus $$ \lim\limits_{r\to 0} \frac{r^2(cos\phi sin \phi +sin^2\phi)}{r(|cos\phi|+|sin\phi|)}=0$$

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Und das ist dann in der Tat eine Antwort zum ersten Teil und zur Nachfrage.

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Das verstehe ich nicht wirklich