Stetigkeit und Partielle Ableitung einer Funktion f(x,y) = (xy)/(x^2 + y^2)

Question

Folgende Funktion ist gegeben:

$$ f(x,y)=\begin{cases} \frac { { xy } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }  & für\quad (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & für\quad (x,y)=(0,0) \end{cases} $$

1.) Zeigen, dass f nicht stetig ist in (0,0)

2.) Zeigen, dass beide Partiellen Abbildungen im Punkt (0,0) existieren.

Zu 1.) Habe ich so angefangen: Punkt (0,0)

$$ \begin{matrix} x\quad \mapsto \quad f(x,0) & \quad \quad \frac { x*0 }{ { x }^{ 2 }+{ 0 }^{ 2 } } =\frac { 0 }{ { x }^{ 2 } } =0 \\  &  \\ y\quad \mapsto \quad f(0,y) & \quad \quad \frac { 0*y }{ { 0 }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } =\frac { 0 }{ { y }^{ 2 } } =0 \end{matrix} $$

Stimmt das so? Was muss ich noch tun?

Was ist bei 2. zu tun?

Comments

Tipp zu (1): \(f(x,x)=\frac12\) für alle \(x\in\mathbb R\setminus\{0\}.\)

Answer 1

Zu (1).

$$ Nach\quad dem\quad Folgenkriterium\quad ist\quad f\quad stetig\quad in\quad  \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  \quad \in \quad R²,\quad wenn\\ für\quad jede\quad Folge\quad ({ x }_{ k })\quad in\quad R²\quad mit\quad \underset { k\rightarrow \infty  }{ lim } \quad { x }_{ k } = a\quad gilt: \\ \quad \underset { k\rightarrow \infty  }{ lim } \quad f({ x }_{ k }) \quad \rightarrow \quad f(\underset { k\rightarrow \infty  }{ lim } \quad ({ x }_{ k }))\quad \quad \quad \quad \quad (=\quad f(a)).\\ $$

$$\\ Sei\quad nun\quad { x }_{ k }\quad =\quad  \begin{pmatrix} \frac { 1 }{ k }  \\ \frac { 1 }{ k }  \end{pmatrix}  \quad mit\quad { x }_{ k }\quad \in \quad R²\\ \\ Dann\quad ist\quad \underset { k\rightarrow \infty  }{ lim } \quad  \begin{pmatrix} \frac { 1 }{ k }  \\ \frac { 1 }{ k }  \end{pmatrix}  \quad =\quad  \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  \quad ,\quad \\ aber\quad \underset { k\rightarrow \infty  }{ lim } \quad f\left( \frac { 1 }{ k } ,\frac { 1 }{ k }  \right) \quad =\quad \frac { { \left( \frac { 1 }{ k }  \right)  }^{ 2 } }{ 2{ \left( \frac { 1 }{ k }  \right)  }^{ 2 } } \quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ 2 } \quad \neq \quad \quad f\left( \underset { k\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { 1 }{ k } ,\frac { 1 }{ k }  \right)   =f(0,0) = 0.\\ Da\quad also\quad nicht\quad alle\quad Folgen\quad die\quad Bedingung\quad erfüllen,\quad folgt\quad die\quad Unstetigkeit\quad von\quad f\quad in\quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  . $$

Comments

a = ^t(0 , 0)