Berechnen sie den Erwartungswert (Integralzeichen) oben unendlich unten 0 tf (t)dt für die Lebensdauer des Bauteils

Question

Aufgabe:

Die Lebensdauer eines Bauteils lässt sich mit Hilfe einer Exponentialverteilung wie folgt abschätzen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil kürzer als x Tage funktioniert, sei

P (X ≤ x) = (Integralzeichen) oben x unten 0   f(t)dt, f(t) = 0.004e^−0.004t,

a) Berechnen sie den Erwartungswert (Integralzeichen) oben unendlich unten 0 tf (t)dt für die Lebensdauer des Bauteils

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hält das Bauteil mehr als ein Jahr?

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besitzt das Bauteil eine Lebensdauer zwischen zwei und drei
Jahren

Problem/Ansatz:

Die a war machbar, Ich habe zuerst Integriert
f(t) = 0.004e^−0.004t,
(u*v)-(u*F(v))

F(t) ist dann : 0,004[(t*250*e^-0,004t) + (250 * -250 * e^-0,004t) ] oben undendlich unten 0.... (Ich habe 1/0,004 zu 250 umgeschrieben)
Um den erwartungswert zu berechnen habe ich dann F(unendlich) - F(0) eingesetzt
Bei unendlich geht die e funktion gegen 0 die Funktion auch und bei null kommt mit den 0,004 vor der Klammer 250 raus
Also 250 Tage.

b) Da es in Tagen ist war die Idee Das Integral von 365 bis unendlich zu berechnen
Eingesetzt sind das dann F(unendlich) - F(365) = 26,7~
Hier meine erste Frage: Ist das dann die Wahrscheinlichkeit mit der das Bauteil mehr als ein Jahr überlebt also 26,7%?

c)Die Idee war das Integral von 730 bis 1095 zu berechnen.
Also F(1095)-F(730)
Ich bekomme dann 10,58~-25,89~ raus

= -15,31

Meine Frage insgesamt nun, war dieser Ansatz richtig oder habe ich garnicht die Wahrscheinlichkeit hier berechnet?
Bei der C bin ich mir auch nicht sicher wie ich die -15,31 richtig lesen soll.

Answer 1

a) passt bei b) und c) kommen 23,2 % bzw 4,1 % raus. Die Ansätze sind in Ordnung. Vermutlich hast du dich verrechnet. Ohne Rechenweg ist das aber nun schwierig zu beurteilen.

c) kann nicht stimmen, weil Wahrscheinlichkeiten stets positiv sind.

Comments

Hallo Apfelmännchen

Ich rechne bei b:
Mit dem TR: 365*(250*e^-0,004*365)+(250*(-250*e^-0,004*365))
Das Ergebnis davon ist 20901.26+(-14514,77)
=-6386,49 Auf 2 Nachkommastellen gerundet das ergebnis * 0,004
=25.55 %

Erschließt sich dir daraus wo ich vielleicht die Klammern falsch gesetzt habe?

Grüße

Fou
Edit hab unabsichtlich mit 360 gerechnet, aber komme mit 365 trotzdem aufs falsche ergebnis :(

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Okay, dadurch sieht man, das der Ansatz falsch ist. Du verwendest die Stammfunktion von \(tf(t) \) was natürlich falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit wird nur über das Integral von \(f(t) \) bestimmt.

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Hmm ich komme nicht ganz mit das Integral von f(t) ist doch
0,004[(t*250*e^-0,004t) + (250 * -250 * e^-0,004t) oder?

Gibt es hier noch eine weitere Stammfunktion?

Das Hier:
"P (X ≤ x) = \( \int\limits_{0}^{x} \)  f(t)dt"
habe ich tatsächlich ignoriert weil ich dachte, das es für die Aufgabe nicht Relevant ist.

Für weitere Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Falls es um die obige Funktion geht wie lese ich die ich erkenne keine Funktion

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Hmm ich komme nicht ganz mit das Integral von f(t) ist doch 0,004[(t*250*e^-0,004t) + (250 * -250 * e^-0,004t) oder?

Nein, das ist nicht die Stammfunktion vom \(f\).

P (X ≤ x) = \( \int\limits_{0}^{x} \)  f(t)dt"habe ich tatsächlich ignoriert weil ich dachte, das es für die Aufgabe nicht Relevant ist.

Warum sollte das nicht relevant sein? Das ist gerade die Definition zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit. Deine Ansätze sind im Prinzip auch in Ordnung, aber nutze bitte das korrekte Integral.

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Okay ich hab jetzt f(t) Integriert das wäre ja \( -e^{-0,004t} \)

Wenn ich jetzt bei der c) einsetze: Obere Grenze 1095 untere Grenze 720
\( -e^{-0,004·1095} \) - ( \( -e^{-0,004·720} \) )
Da komme ich dann auf 0,0414 = 4,14%

Wenn ich nun bei der b)

Einsetze \( -e^{0,004·365} \)

F(∞) - F(365)

0 - (\( -e^{-0,004·365} \) )

= 0 - (-0,2322)

=23,22%

Danke für die Hilfe!

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Prima. :) untere Grenze bei c) ist 730.