Zeigen Sie, dass für αk,βk ∈ K, k = 1,...,n gilt:

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum. Seien v₁ , . . . , v_n ∈ V linear unabhängig.

Zeigen Sie, dass für α_k,β_k ∈ K, k = 1,...,n gilt:

Aus ⁿ∑_k=1α_kv_k = ⁿ∑_k=1β_kv_k  folgt α_k = β_k, ∀k= 1,...,n

Problem

Wie geht man hier voran?

Answer 1

Aus \( \sum \limits_{k=1}^n \alpha_kv_k =  \sum \limits_{k=1}^n \beta_kv_k   \)  folgt

\( \sum \limits_{k=1}^n (\alpha_k-\beta_k)v_k =  0 \)

Wegen der lin. Unabh. folgt für alle k  \( \alpha_k-\beta_k =  0 \), also \( \alpha_k=\beta_k  \)

Answer 2

Bringe alles auf eine Seite, schreibe um als \(\sum c_kv_k\) mit gewissen \(c_k\) und benutze die lineare Unabhängigkeit.