Integral mit soll - (cot(t) * sin(t) + 2*cot(t))/sin(t) dt mit Vorschlag substituieren/ersetzen

Question

Aufgabe:

$$\int_{a}^{b} - \frac{\cot{(t)} \cdot \sin{(t)} + 2 \cdot \cot{(t)}}{\sin{(t)}} dt = \int_{A}^{B} f(y) dy$$

Als Substitution soll die Halbwinkelmethode angewendet werden:

$$y =  \tan{\left(\frac{t}{2}\right)}$$ 

Problem/Ansatz:

Für $$f(y)$$ soll folgendes herauskommen:

$$f(y) = \frac{y^4 + y^3 - y - 1}{y^4 + y^2}$$

Frage:

Wie kommt man auf

$$f(y)$$

Answer 1

hier nutzt man die Weierstraß- Substitution:

https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9F-Substitution

Klammere  cot(t) aus .Ersetze dann die Ausdrücke .

Meine Berechnung:

Comments

Wie kommst du denn von Schritt 2 auf Schritt 3 ?

Der cot ist doch cos/sin und wenn ich das so in den Zähler schreibe, müsste dann nicht der Nenner sin^2 da stehen ?

Frage:

Wie kürzt sich der sin dort im Nenner weg?

 

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mom . ich schaue nochmal

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Aber wie kürzt sich das weg ?

Ist das nicht wie folgt ?

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warte bitte, ich schau nochmal..

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Du bekommst:

=cos(t)/ sin^2(t) (sin(t) +2)

Wenn Du dann die Ausdrücke ersetzt , kommst Du auf den angegebenen Ausdruck.

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Edit: war nur ein Vorzeichenfehler, passt.

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siehe  oben , hab es gerechnet

Answer 2

$$\begin{aligned} I &= \int {\cot x\sin x+2\cot x \over \sin x} dx \cr   &= \int {{\cos x \over \sin x}\sin x+2{\cos x \over \sin x} \over \sin x} dx \cr &= \int ({1\over \sin x}+{2\over \sin^2 x})\cos x dx \cr   &= \int {1\over t}+{2\over t^2} dt \cr   &= \ln|t|-{2\over t} \cr   &= \ln|\sin x|-{2\over \sin x} \cr \end{aligned}$$