Integral Substitution mit vorgegebenem Vorschlag substituieren sin tan Halbwinkelmethode

Question

Aufgabe:

$$\int_{a}^{b}  -\frac{3 \cdot \sin{(t)} + 1}{3 \cdot \sin{(t)} \cdot \tan{(t)}} dt = \int_{A}^{B}f(y) dy$$

Substitutionsvorschlag ist hier die Halbwinkelmethode wie bereits in einer Aufgabe von mir geschrieben zu wählen:

$$t = tan\left(\frac{t}{2}\right)$$

Problem/Ansatz:

Als Ergebnis soll hier rauskommen:

$$f(y) = \frac{y^4 + 6y^3 - 6y - 1}{6y^4 + 6y^2}$$

Answer 1

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Comments

Jetzt weiss ich wo ich einen Fehler hatte,

das war beim ersetzen von dt nach dy ich hatte dort stehen:

$$\frac{2y}{1+y^2}$$ anstelle von

$$\frac{2}{1+y^2}$$

Ich nahm an das du den selben Fehler gemacht hattest da du in der Zeile wo du das dt nach dy ersetzt auch die 2 mit y multiplizierst aber in der Zeile danach das y nicht mehr hingeschrieben hattest. Nach nochmaligen nachschlagen in den Unterlagen ist mir dann bewusst geworden, dass du es nicht gekürzt hattest, sondern die Substitution vom Differential nicht richtig geschrieben hattest genau wie bei mir halt.

Besten Dank :)

Answer 2

Aus y = tan(t/2) bekommst du ja dy/dt = (1 + tan^2 (t/2) ) / 2

also dt =  ( 2 / (1 +y^2 ) ) * dy

Und wenn man das Integral (ohne Grenzen) umformt

$$\int -\frac{3 \cdot \sin{(t)} + 1}{3 \cdot \sin{(t)} \cdot \tan{(t)}} dt $$

$$\int - \cot(t) \cdot (1+\frac{1}{3 \cdot \sin(t)}) dt \qquad \# $$

Wenn du bildest

$$y^2=\frac{1-2cos(t)+cos^2(t)}{sin^2(t)}$$

und dann

$$y^2-1=\frac{1-2cos(t)+cos^2(t)-sin^2(t)}{sin^2(t)}$$

$$<=> y^2-1=2cot(t)*(-y)$$

$$<=>\frac{ 1-y^2}{2y}=cot(t)$$

und entsprechend

$$<=>\frac{ 1+y^2}{2y}=\frac{ 1}{sin(t)}$$

Damit wird aus #

$$\int_{}^{}  -\frac{ 1-y^2}{2y}*(1+\frac{ 1+y^2}{6y})dt$$

und mit dt =  ( 2 / (1 +y^2 ))  * dy gibt das

$$\int_{}^{}  -\frac{ 1-y^2}{2y}*(1+\frac{ 1+y^2}{6y})*\frac{2}{1+y^2}dy$$

Ausgerechnet also das avisierte Ergebnis.