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an=(1+1n)n,bn=k=0n1k!,nN. a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}, \quad b_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}, \quad n \in \mathbb{N} .

Setzen wir e  : =exp(1) :=\exp (1) , so wissen wir aus der Vorlesung, dass limnbn= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}= e. Zeigen Sie nun
(a) 2bn<3,nN 2 \leq b_{n}<3, n \in \mathbb{N} ,
(b) anbn,nN a_{n} \leq b_{n}, n \in \mathbb{N} ,
(c) limnan=limnbn=e \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=\mathrm{e} .

Hinweis zu (b) und (c): Zeigen Sie mithilfe des binomischen Lehrsatzes
an=k=0n(1k!j=0k1(1jn)). a_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{k !} \prod \limits_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)\right) .

Seien Sie unbesorgt: das Produkt lässt sich leicht abschätzen. Vergleichen Sie die Summanden mit den Summanden von bn b_{n} . Grenzwerte von Folgen sind gleich, wenn die Differenz der Folgen eine Nullfolge ist.

Aufgabe: es geht um die Aufgabe b


Problem/Ansatz: ich verstehe das grundlegende Vorgehen mit dem bin-Lehrsatz, aber beim auseinanderziehen des binomialkoeffizienten komme ich nicht weiter. Wie muss ich da weiter vorgehen?IMG_1532.jpeg

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6.b) an=(1+1n)n=k=0n(nk1nk1k=k=0nn!k!(nk)!11nk=k=0n1k!n!(nk)!1nk \quad \begin{aligned} a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array} \mid 1^{n-k} \cdot 1^{k}\right. & =\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{n !}{k ! \cdot(n-k) !} 1 \cdot \frac{1}{n}^{k} \\ & =\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !} \cdot \frac{n !}{(n-k) !} \frac{1}{n}^{k}\end{aligned}

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n!(nk)!=i=1nii=1nki=i=0k1(ni)\frac{n!}{(n-k)!}= \frac{\prod\limits_{i=1}^n i}{\prod\limits_{i=1}^{n-k}i}=\prod\limits_{i=0}^{k-1} (n-i)

In der Summe haben wir noch nkn^k im Nenner, ziehe das ins Produkt.

Bei Deinem (1n)k(\frac1n)^k fehlen Klammern, solche Nachlässigkeiten machen solche Aufgaben schwierig.

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OK den ersten Schritt mit den Produkten verstehe ich. Aber wie kommt man von da zu dem einheitlichen Produkt?

Ansonsten danke schon mal:)

Regel, die bei Summen/Produkten oft hilft:
Schreibe die beiden Produkte aus (es ist ja nicht magisches, nur ein Abkürzungszeichen).

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