
Text erkannt:
an=(1+n1)n,bn=k=0∑nk!1,n∈N.
Setzen wir e : =exp(1), so wissen wir aus der Vorlesung, dass n→∞limbn= e. Zeigen Sie nun
(a) 2≤bn<3,n∈N,
(b) an≤bn,n∈N,
(c) n→∞liman=n→∞limbn=e.
Hinweis zu (b) und (c): Zeigen Sie mithilfe des binomischen Lehrsatzes
an=k=0∑n(k!1j=0∏k−1(1−nj)).
Seien Sie unbesorgt: das Produkt lässt sich leicht abschätzen. Vergleichen Sie die Summanden mit den Summanden von bn. Grenzwerte von Folgen sind gleich, wenn die Differenz der Folgen eine Nullfolge ist.
Aufgabe: es geht um die Aufgabe b
Problem/Ansatz: ich verstehe das grundlegende Vorgehen mit dem bin-Lehrsatz, aber beim auseinanderziehen des binomialkoeffizienten komme ich nicht weiter. Wie muss ich da weiter vorgehen?
Text erkannt:
6.b) an=(1+n1)n=k=0∑n(nk∣1n−k⋅1k=k=0∑nk!⋅(n−k)!n!1⋅n1k=k=0∑nk!1⋅(n−k)!n!n1k