Zeige, dass ein komplexes

Question

Aufgabe:Sei auf \(C^{n x n} \) 
die Abbildung
<A, B> = Spur(\( A^{T} \) B¯)

definiert. Dabei ist die Spur einer Matrix die Summer der Einträge auf der Diagonalen und B¯
erhalten wir aus B, indem wir alle Einträge komplex konjungieren. Zeige, dass <·, ·> ein komplexes
Skalarprodukt ist .

Problem/Ansatz: Ich habe schon die Linearität und die Symmetrie bewiesen aber die positive Definitheit konnte ich nicht beweisen , ich brauche eure Hilfe bitte . Danke im Voraus

Answer 1

Verwende die Definition der Matrixmultiplikation und der Spur: $$\mathrm{spur}(A^TA^-) =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}^T \cdot \overline{a_{ji}}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ji}\cdot \overline{a_{ji}} \geq 0.$$

Was ergibt denn \(z\cdot \overline{z}\) ?

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Danke für Ihre Hilfe !