Zeige, dass die Menge ein Unterraum von R^{3} ist und bestimme seine Dimension.

Question

Aufgabe:

Sei ℝ³ mit dem Euklid'schen Skalarprodukt versehen.

(i) Berechne \( w=\left[\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right] \times\left[\begin{array}{r}1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right] \) und bestimme die Dimension des Unterraums \( w^{\perp} \subset \mathbb{R}^{3} \).

(ii) Zeige, dass die Menge

\( \left\{v \in \mathbb{R}^{3}:\left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right] \times v=0\right\} \)

ein Unterraum von \( \mathbb{R}^{3} \) ist und bestimme seine Dimension.

Ansatz/Problem:

(i) habe ich gerechnet und den Vektor \( w=\left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \) erhalten, aber was muss ich jetzt noch genau tun?

(ii) habe ich ebenfalls gerechnet und den Vektor \( v=\left(\begin{array}{c}1 / 2 v_{1} \\ -1 / 2 v_{2} \\ v_{3}\end{array}\right) \) erhalten, aber wie zeige ich dass das ein Unterraum von ℝ³ ist und wie bestimme ich die Dimension?

Answer 1

(i) habe ich gerechnet und den Vektor \( w=\left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \) erhalten, aber was muss ich jetzt noch genau tun?

w^⊥ ist die Menge aller zu w senkrechten Vektoren, das ist genau der von den beiden gegebenen Vektoren erzeugte Unterraum mit dim = 2.

(ii) habe ich ebenfalls gerechnet und den Vektor \( v=\left(\begin{array}{c}1 / 2 v_{1} \\ -1 / 2 v_{2} \\ v_{3}\end{array}\right) \) erhalten, aber wie zeige ich dass das ein Unterraum von ℝ³ ist und wie bestimme ich die Dimension?

da hast du dich vertan die v 's sind alle gleich also nix v1,v2,v3 sondern nur v1 und damit sind das die Vielfachen von 1/2  ;  -1/2; 1 also der von diesem Vektor erzeugte Unterraum mit dim=1