Aufgabe:
Sei \( \mathbb{K} \) ein Körper, und sei \( n \) eine natürliche Zahl. Eine Matrix \( A=\left(a_{i j}\right) \in \mathrm{M}_{n n}(\mathbb{K}) \) heißt schiefsymmetrisch, falls \( a_{i j}=-a_{j i} \) für alle \( 1 \leq i, j \leq n \).
1. Beweisen Sie, dass die Menge
\( \mathcal{S}_{n}(\mathbb{K})=\left\{A \in \mathrm{M}_{n n}(\mathbb{K}) \mid A \text { ist schiefsymmetrisch }\right\} \)
ein Unterraum von \( \mathrm{M}_{n n}(\mathbb{K}) \) ist.
2. Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von \( \mathcal{S}_{3}(\mathbb{R}) \).
