Zeigen linearer Unterraum und Isomorphismus von Vektorräumen

Question

Aufgabe:

Seien \( V, W, X \) drei \mathbbK-Vektorräume. Wenn wir \( V \) und \( W \) einfach als Mengen betrachten, so wissen wir, dass die Menge aller Abbildungen

$$ f: V \times W \rightarrow X $$
ein \( \mathbb{K} \) -Vektorraum \( X^{V \times W} \) ist, mittels
$$ \left(\lambda f+f^{\prime}\right)(\mathbf{v}, \mathbf{w}):=\lambda f(\mathbf{v}, \mathbf{w})+f^{\prime}(\mathbf{v}, \mathbf{w}) $$
Betrachte nun
$$ L_{2}(V \times W, X) $$
die Menge aller bilinearen Abbildungen, also die Menge aller \( B \in X^{V \times W} \) mit
$$ \begin{aligned} B\left(\lambda \mathbf{v}+\mathbf{v}^{\prime}, \mathbf{w}\right) &=\lambda B(\mathbf{v}, \mathbf{w})+B\left(\mathbf{v}^{\prime}, \mathbf{w}\right) \\ B\left(\mathbf{v}, \lambda \mathbf{w}+\mathbf{w}^{\prime}\right) &=\lambda B(\mathbf{v}, \mathbf{w})+B\left(\mathbf{v}, \mathbf{w}^{\prime}\right) \end{aligned} $$
Zeigen Sie
1. \( L_{2} \) ist ein linearer Unterraum von \( X^{V \times W} \).
2. Es gibt einen Isomorphismus von Vektorräumen
$$ L_{2}(V \times W, X) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathbb{K}}\left(V, \operatorname{Hom}_{\mathbb{K}}(W, X)\right) $$

könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Ich muss das unbedingt heute machen

Comments

Aufgabe 1

1. Teilmenge klar.

2. Unterraum:

2.1: Nicht leer, da f : V x W → X, (v, w) ↦ 0 sicherlich eine bilineare Abbildung ist

2.2 Für f, g ∈ L_2(V x W, X) und λ ∈ K ist auch λf + g bilinear (nachrechnen)

Aufgabe 2:

Man rechnet nach dass die naheliegende Abbildung:

$$ \Phi : \operatorname{Hom}_K(V,\operatorname{Hom}_K(W,X)) \to L_2(V\times W, X)  \\ \varphi \mapsto \left[ (v,w) \mapsto \varphi(v)(w)\right] $$

ein wohldefinierter Isomorphismus ist.