Eine lineare Abbildung von K-Vektorräumen. Zeigen Sie, dass die Abbildung ein wohldefinierter Isomorphismus ist

Question

Aufgabe:

(i) Sei \( \varphi: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung von \( K \) -Vektorräumen. Zeigen Sie, dass die Abbildung

\( \bar{\varphi}: V / \operatorname{Kern} \varphi \rightarrow \operatorname{Bild} \varphi, v+\operatorname{Kern} \varphi \rightarrow \varphi(v) \)

ein wohldefinierter Isomorphismus ist. Insbesondere gilt \( V / \operatorname{Kern} \varphi \cong \) Bild \( \varphi \)

(ii) Seien \( V \) ein \( K \) -Vektorraum und \( U_{1}, U_{2} \subset V \) Untervektorräume. Zeigen Sie:

\( U_{1} /\left(U_{1} \cap U_{2}\right) \cong\left(U_{1}+U_{2}\right) / U_{2} \)

Answer 1

Ich bezeichne mit \(\overline{v}\) die Äquivalenzklasse von \(v\), d.h. \(v'\in \overline{v}\Leftrightarrow v'\sim v\Leftrightarrow (v'-v)\in Ker(\varphi)\). Unter Wohldefiniertheit ist hier zu verstehen, dass die Wahl des Repräsentanten keine Rolle spielt, also sei \(\overline{v'}=\overline{v}\)

\(\overline{\varphi}(\overline{v'})=\overline{\varphi}(\overline{v})\Leftrightarrow \varphi(v')=\varphi(v)\Leftrightarrow \varphi(v')-\varphi(v)=0\Leftrightarrow \varphi(v'-v)=0\) und das ist nach Konstruktion eine wahre Aussage.

Als nächstes also Injektivität, seien \(\overline{\varphi}(\overline{v'})=\overline{\varphi}(\overline{v})\):

\(\Rightarrow \, \overline{\varphi}(\overline{v'})-\overline{\varphi}(\overline{v})=0\)

\(\Rightarrow\, \overline{\varphi}(\overline{v'}-\overline{v})=0\)

\(\Rightarrow \, \overline{\varphi}(\overline{v'-v})=0\, \Rightarrow \, \varphi(v'-v)=0\)

\(\Rightarrow \, v'\sim v\, \Rightarrow \overline{v'}=\overline{v}\)

Und zu guter letzt Surjektivität, sei dazu \(w\in Bild(\varphi)\):

\(\Rightarrow \, \exists \, v\in V: \varphi(v)=w\, \Rightarrow \, \overline{\varphi}(\overline{v})=w\)

also existiert zu jedem Element aus Bild(\(\varphi\)) ein Urbild in \({}^{V}/_{Kern(\varphi)}\)