Zeige, dass f ein wohldefinierter Isomorphismus ist

Question

Wie zeige ich, dass etwas ein wohldefinierter Isomorphismus ist? Konkret haben wir gegeben:

\( f: \mathbb{R}^{2} / \operatorname{Lin}\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right) \rightarrow \mathbb{R}^{2} / \operatorname{Lin}\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right), \overline{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)} \mapsto \overline{\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{2} \\ 0\end{array}\right)} \)

Vermutung ist, dass wie hier den Isomorphiesatz anwenden müssen. Aber wie, wissen wir nicht wirklich :( sitzen jetzt schon mehrere Tage davor, ohne eine Antwort zu finden. Vielleicht weiß hier jemand weiter.

Comments

Macht euch zunächst klar, wie die Abbildung f überhaupt funktioniert :
Jeder Punkt x = (x1 | x2) ∈ ℝ^2 liegt genau auf einer Geraden mit der Steigung -1. Diese Gerade (= Äquivalenzklasse) wird per f auf diejenige Gerade abgebildet, die denselben y-Achsenabschnitt aber die Steigung 2 hat.

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Das haben wir soweit verstanden, hilft uns aber (leider) noch nicht bei der Bearbeitung der Aufgabe :( Das Problem ist vor allem, dass wir nicht wissen, wie wir da dran gehen sollen.

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Dann ist die Bijektivität ja kein Problem mehr.

Man mache sich dann klar, wie die Addition und die skalare Multiplikation von Äquivalenzklassen funktioniert (zwar durch Repräsentanten definiert aber unabhängig von der Wahl dieser Repräsentanten).

Schließlich zeige man für zwei Repräsentanten x und y aus der Äquivalenzklasse [a], dass f([x]) = f([y]) sowie für zwei Äquivalenzklassen [a] und [b] dass f([a]+[b]) = f([a]) + f([b]) und f(k·[a]) = k·f([a]) durch schlichtes Nachrechnen.

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Ich muss meine obige Formulierung noch etwas korrigieren, denn wenn x,y ∈ [a] sind, so ist ja offenbar [x] = [y] (Äquivalenzrelation) und somit auch f([x]) = f([y]).
Gemeint war dass mit x,y ∈ [a] jedenfalls [(x1+x2 | 0)] = [(y1+y2 | 0)] gilt.

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Leider ist die Bijektivität (und Wohldefiniertheit) doch noch ein Problem. Geht man da wie bei einer “normalen” Funktion vor, also für injektiv f(x)=f(y) und dann erhalte ich ja 0=0 und x1+x2=y1+y2 und dann. Oder sind wir komplett auf dem Holzweg?

Sorry, dass es so hakt bei uns…

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Vermutung ist, dass wie hier den Isomorphiesatz anwenden müssen. Aber wie, wissen wir nicht wirklich :(

Ich kann euch was zum Homomorphiesatz sagen:

Betrachtet die Abbildung

$$ g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} / \operatorname{Lin}\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right) \mapsto \overline{\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{2} \\ 0\end{array}\right)} $$

Hier braucht man die Wohldefiniertheit nicht wirklich zu zeigen. Was sollte schief gehen? Beim f ist die Definition von Vertretern abhängig, das könnte Probleme machen. Bei g ist das aber nicht so.

Linearität: nachrechnen.

Surjektivität:

Für jede Restklasse \( \overline{\left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)} \in \mathbb{R}^{2} / \operatorname{Lin}\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)\) ist

$$ \overline{\left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)} = \overline{\left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)-\frac{y}{2}\left(\begin{array}{c}1 \\ 2\end{array}\right)} = \overline{\left(\begin{array}{c} x - \frac{y}{2} \\ 0\end{array}\right)} $$

Das hat sicherlich mindestens ein Urbild unter g, z.B. (x-y/2,0). Also ist g surjektiv.

\( \ker g = \operatorname{Lin}\left(\begin{array}{l}1 \\ -1\end{array}\right) \) sollte auch nicht überraschen. Das rechnet man auch schnell nach.

Es gilt

$$ \overline{\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{2} \\ 0\end{array}\right)} = \overline{\left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right)} \iff \left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{2} \\ 0\end{array}\right) \in \operatorname{Lin}\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)$$

Nach dem Homomorphiesatz ist die Abbildung f dann ein wohldefiniert Isomorphismus.