Zeigen Sie dass f ein Isomorphismus von Z_p Vektorräumen ist

Question

Aufgabe:

Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie dass die Abbildung

$$f:Z_p \rightarrow Z_p :    x\rightarrow x^p$$

ein isomorphismus von $$Z_p$$ Vektorräumen ist.

Problem/Ansatz:

Ich komme da nicht weiter. Mein Ansatz wäre erstmal zu zeigen dass dies eine lineare Abbildung ist und dann die bijektivität überprüfen. Aber wie gehe ich damit um dass wir uns im $$Z_p$$ befinden?

Answer 1

Z_p ist ja für jede Primzahl ein Körper, also ein Vektorraum mit

sich selbst als zugehörigem Körper.

Also muss man erst mal Linearität zeigen:

1. Für alle x,y ∈ Z_p gilt f(x+y) = f(x)+f(y)

also  (x+y)^p = x^p + y^p .

Das stimmt, denn die Summanden die durch die binomische

Formel eigentlich hinzukommen

(x+y)^p = x^p + p*x^p-1*y + (p über 2)*x^p-2*y^2 +....+(p über (p-1))*x*y^p-1+y^p

enthalten alle als Faktor einen Binomialkoeffizienten der (p über k)

mit 1≤k≤p-1, sind also alle durch p teilbar und in Z_p also gleich 0.

2. Für alle x,y ∈ Zp gilt f(x*y) = x*f(y)  also  (x*y)^p = x*y^p .

Das heißt ja eigentlich dann ... = x^p*y^p aber nach dem

Fermatschen Satz ist ja x^p-1 ≡ 1 mod p .

Also ist Linearität erfüllt. Fehlt nur noch die Bijektivität, da

es gleichdimensionale Vektorräume sind ( beide dim=1 ) reicht

Kern (f) = {0} zu zeigen.

Und da p ja Primzahl ist folgt x^p = 0 ( bzw ≡ p ) in der Tat

nur für x=0 ( bzw. p ).