Isomorphismus, Linearität zeigen, Vektorräume

Question

Seien U,V und W K-Vektorräume ind sei $$h: U \rightarrow V$$ eine K-lineare Abbildung. Zeigen Sie:

a) Die Abbildung $$r_h: \text { Lin(V,W)} \rightarrow \text { Lin U,W}, g \rightarrow g \cdot h$$ ist K-linear.

b) $$ \text { Ist h ein Isomorphismus, so ist auch } r_h \text { ein Isomorphismus. }$$ $$ \text {(Hinweis: Betrachten Sie }r_h\text { sowie} r_{h^{-1}}: \text{ Lin(U,W)} \rightarrow \text { Lin(V,W)} $$

Also ich weiß, dass man für a) zeigen muss, dass r(v+v')= r(v)+r(v') sowie $$r( \lambda \times v) = \lambda \times r(v) $$ Aber wie genau? Falls jemand einen Ansatz hat wäre das toll!!

Answer 1

Es wird wohl  g → g o h heißen, wobei g o h die

Hintereinanderausführung von g und h ist, also für alle x∈U

gilt (g o h ) ( u ) =  g( h(u)).

Und r_h ist ja eine Abbildung von  Lin(V,W)  nach  Lin (U,W).

Also jeder linearen Abb. von V nach W wird auf diese Weise eine

von U nach W zugeordnet.

In deiner Gleichung r(v+v')= r(v)+r(v') sind also v und v'

Abbildungen und r(v+v') und r(v) und r(v')  sind auch welche.

Und die Gleichheit von Abbildungen kann man ja beweisen, wenn man

gleiche Definitions- und Zielmengen hat (Das ist hier ja klar.)

und für alle Elemente der Def.menge die Bilder gleich sind.

Dann kann man das hier wohl so beweisen:

Seien v,v' ∈   Lin(V,W) und h wie oben. Dann gilt für alle u∈U

r_h(v+v')(u) = h( (v+v')(u) )  Def. von + bei v und v' gibt

             = h( v(u)+v'(u) )  Linearität von h gibt

                    = h(v(u))+h(v'(u))   Def. von o

                  =(hov)(u)+(hov')(u)   Def. von + bei Abb'en

                  = ((hov)+(hov'))(u)   Def. von r_h

                  =  ( r_h(v) + r_h(v') ) (u).

Also haben rh(v+v') und rh(v) + rh(v') für alle u∈U gleiche Bilder. q.e.d.

So ähnlich bekommst du auch r_h(λ·v) =λ· r_h(v)  hin.

Comments

Eine Sache verstehe ich hierbei nicht. Wenn:

g → g o h und (g o h ) ( u ) =  g( h(u))" gilt,

wieso ist dann rh(v+v')(u) = h( (v+v')(u) ) und nicht rh(v+v')(u) = (v+v')o h(u).
Vielleicht übersehe ich hier etwas Banales.