Zeigen Sie, dass … ein Isomorphismus von K -Vektorräumen ist. Was ist die Dimension von V / U?

Question

Sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und \( U, W \subset V \) Untervektorräume. Sei \( \sim \) wie in Aufgabe 8.4.

a) Sei \( V=U \oplus W . \) Zeigen Sie, dass \( \varphi: W \rightarrow V / U, w \mapsto[w] \) ein Isomorphismus von \( K \)-Vektorräumen ist.

Was ist die Dimension von \( V / U ? \)

b) Sei nun \( V=\mathbb{Q}^{3} \) ein \( \mathbb{Q} \)-Vektorraum. Sei weiter \( U=\left\langle(2,1,1)^{\top}\right\rangle \) und \( W=\left\langle(-1,2,1)^{\top},(0,1,1)^{\top}\right\rangle \)
Zeigen Sie, dass \( V=U \oplus W \) und bestimmen Sie für \( v=(1,2,1)^{\top} \in V \) ein \( w \in W \) mit \( v \sim w \). Ist \( w \) eindeutig?

c) Bestimmen Sie ein \( w^{\prime} \in\left\langle(1,0,0)^{\top},(0,0,1)^{\top}\right\rangle \) mit \( v \sim w^{\prime} \).

* Relation von 8.4: v~w ⇔v-w ∈ U

Answer 1

zu b) hät ich was:
die erzeugenden von U und V bilden zusammen eine Basis von Q^3
ich nenn die mal u, w1,w2.
(zeigst du leicht, weil sie lin. unabh. sind.)
Bezüglich einer Basis von Q^3 sind alle v aus Q^3 eindeutig darstellbar,
also jedes v = x1*u + x2*w1 + x3*w2
oder deutlicher:    v = x1*u +   ( x2*w1 + x3*w2 )
also ist jedes v aus V in eindeutiger Weise als Summe zweier Elemente
von U und W darstellbar, also ist V die direkte Summe von U und W.

ein w mit v~w findet sich also leicht:
                          v-w aus U, wenn w= x2*w1 + x3*w2
für dein gegebenes v ist
v = 1*u +1*w1 -1*w2 also ist das w=w1-w2= (-1,1,0)^T
wegen der Eindeutigkeit der Basisdarstellung ist w auch eindeutig.
c) ist ja wie b) nur mit anderen w1 und w2.
hier gilt
v= 2*u -4*w1  -2*w2
also ist das w ' gleich  -4w1 -2w2